《經典數論問題的若干變種》是依託浙江大學，由蔡天新擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：經典數論問題的若干變種
- 依託單位：浙江大學
- 項目負責人：蔡天新
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
5年前，受abc猜想的形式啟發，我們把整數的加法和乘法結合起來考慮，針對希爾伯特-華林問題，大膽嘗試自己的想法並付諸實踐，取得了很好的效果，且不失深度和難度。現在，我們想把這個思想套用於完美數問題、費爾馬大定理等經典問題，拓展出新的研究領域和方向，解決或部分解決其中的若干問題。在使用工具上，除了組合數論和解析數論方法以外，橢圓曲線理論也將起重要作用。隨著費爾馬大定理的證明，古老的橢圓曲線又煥發出新的活力。而把加法和乘法結合起來(被外國同行稱為陰陽方程)後，某些問題可歸結為橢圓曲線的整點或有理點求解，包括形素數和abcd方程在內的新問題也因此得以提出。如同一些數論大家注意到的，考察某些丟番圖方程的整數或有理數解會引導我們到數學的深處，本項目的選題新穎、深刻而有意義，成果的取得將幫助國內外同行拓寬和豐富數論研究。特別需要提及的是，經過過去2年的努力，我們的研究基礎比以往更加紮實了.
結題摘要
首先，關於新華林問題，我們不僅求得並證明了相當於原華林問題g(k)的g’(k)d精確結果，同時得到了相當於原華林問題G(k)的G’(k)的猜想結論，並經過多次努力對較大範圍的k 給出了較為精確的上界估計，但要證明我們提出的猜想其難度仍與原華林問題相當。需要指出的是，250年過去了，原華林問題g(k)的證明仍難求，G(k)的精確估值更是無法猜測。 其次，我們把加乘方程的思想套用於費馬方程，得到了費馬大定理的完全推廣。眾所周知，在abc猜想成立條件下，費馬大定理及其已知的兩個推廣——比爾猜想和卡塔蘭-費馬猜想，乃至其他三項獲得菲爾茲獎的成果均是顯而易見的。德國數學家驗證後指出，即便在abc猜想假設條件下，我們的猜想仍是堅挺的。新費馬方程對應的是半穩定橢圓曲線 y^2=x(x-A)(x-B)，普林斯頓高等研究院的同行認為，可以用懷爾斯證明費馬大定理的方法研究這個問題。 再次，我們提出了平方完美數問題，並得到了一個正整數是平方完美數的充分必要條件，使之與13世紀發現的斐波那契序列中的孿生素數對一一對應，正如原來的偶完美數問題與17世紀的梅森素數一一對應。同時發現了孿生素數猜想於平方完美數之間存在著密切的關係。關於平方完美數問題，我們已完成漸次遞進的多篇論文。依據此項成果撰寫的學術著作《完美數與斐波那契序列》也正在進行中，並獲得了2019年度國家科技學術出版基金的資助（參見附屬檔案1）。我們的研究結果應驗了愛因斯坦的名言，“真正的定律應是非線性的”。 能夠提出新的雅俗共賞的數論問題，並把經典數論問題包含其中，我們成功地做到了。此外，我們也研究了其他有意思的數論問題。如同一些數論大家注意到的，考察某些丟番圖方程的整數或有理數解會引導我們到數學的深處。
