結構矩陣的低秩逼近及其套用

《結構矩陣的低秩逼近及其套用》是依託上海對外經貿大學，由劉永輝擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：結構矩陣的低秩逼近及其套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉永輝
• 依託單位：上海對外經貿大學

項目摘要

利率衍生品定價和資產收益的因子模型給數值代數提出了許多亟待解決的問題，這些問題都與具有某種結構的秩約束矩陣逼近問題有關。本項目研究結構矩陣的低秩逼近及其套用。針對相關矩陣的低秩逼近及其推廣，我們將根據結構相關矩陣的特點，提出新的處理秩約束的手段和方法，使用矩陣分解、矩陣分塊等數值代數預處理技術和序列線性方程組等非線性最佳化方法研究該問題的收斂性，尋求速度快、且計算穩定的新算法；對於降秩的多元回歸模型和增長曲線模型，我們將使用聯合矩陣分解、核範數、最佳化函式等方法處理秩約束，繼而研究模型的快速計算和統計檢驗問題。本項目不僅對矩陣低秩逼近等計算數學的理論和方法有所貢獻，而且對金融市場也具有重要的實際套用價值。

結題摘要

本項目研究結構矩陣的低秩逼近及其套用。我們基本完成了項目申請書中幾類結構矩陣的低秩逼近的理論和算法，並在金融套用領域獲得了系列成果。在項目經費的支持下，我們開展了一系列創新性的工作,主要研究成果分為五個方面: 一是使用Hermitian型廣義奇異值分解和保范擴張定理解決了F範數和譜範數下具有對稱結構的矩陣低秩逼近問題，刻畫了該問題的極小秩Hermitian解的結構。二是提出了一個基於積極約束技術的濾子方法求解球約束的最佳化問題，該算法具有全局收斂性並在寬泛的條件下具有超線性收斂的性質，作為該算法的直接套用，我們計算出了2010年Borsdorf、Higham 和Raydan 提出的帶有因子結構的相關矩陣逼近問題的局部最優解。三是針對降秩的多元回歸模型，我們使用最佳化函式算法給出了該問題的解，證明了該算法的全局收斂性，數值實驗證實了該算法的有效性。四是使用矩陣降維技術研究了常態分配、學生t分布假設下向量自回歸VAR模型的統計診斷問題，我們得到了極大似然估計下不同擾動的正規曲率，使用曲率診斷獲得了這兩類模型異常點檢測的完整算法，並使用金融時間序列數據進行了實證分析。五是研究了分數維利率模型下信用衍生品的定價問題，給出了幾類信用衍生品的定價公式，並使用金融數據進行了實證。 本項目共發表學術論文16篇，其中SCI收錄論文13篇，培養套用數學、機率統計、數量經濟等領域的碩士研究生12人。