《組合數論與素數的二次型表示》是依託南京大學，由孫智偉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：組合數論與素數的二次型表示
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：孫智偉
- 依託單位：南京大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
由於Erdos, Szemeredi, Gowers, Green, Tao等著名數學家的推動， 組合數論已成為非常活躍有潛力的數論分支。本項目主要致力於研究著名的Erdos-Heilbronn猜想（已解決）在域上的加權推廣等和集問題，素數p（或4p）可表成x^2+dy^2（其中虛二次域Q(sqrt(-d))類數為1，2或4）時x^2 mod p^2的顯式表達，自然數表成三個混合多角數之和及相關的三元二次型表示算術級數的問題，以及組合和式的p-adic賦值等。擬使用的工具包括Alon的組合零點原理、p-adic分析、正則三元二次型、Apery數與組合變換、Zeilberger算法。本項目課題有重要的意義與背景（不少涉及申請人自己的猜測）。申請人已在著名的《Trans. Amer. Math. Soc.》等國際期刊上發表了86篇SCI論文, 有的工作被Terence Tao等名家所引用。
結題摘要
在本項目的支持下，我們在Finite Fields Appl., Adv. Appl. Math., J. Combin. Theory Ser. A, Acta Arith., J. Number Theory等重要的SCI期刊上發表了28篇研究論文。在Erdos-Heilbronn猜想的加權推廣等和集問題、素數二次型表示中參數的確定及相關同餘式、涉及組合和式的p-adic同餘式、三個混合型多角數之和表示自然數問題、只取素數值的數論函式、涉及廣義中心三項式係數的新型1/π-級數方面都取得了重要的成果。例如：我們利用三元二次型理論證明了每個自然數都可表成一個三角數、一個偶平方數與一個廣義五角數之和;利用一些新穎恆等式與組合變換獲得了Apery ζ(3)級數相應的p-adic同餘式（涉及Bernoulli數）; 證明了使得2k(k-1) (k=1,...,n) 模m大於1 兩兩不同的最小正整數 m就是2n-2之後的第一個素數（如此，我們獲得一個值域恰為全體素數集的數論函式）, 還提出原創的素數遞推關係猜想與整數的素數交錯和表示猜想。我們還綜合利用組合與數論中多種技巧，成功解決了Rodriguez-Villegas受Calabi-Yau流形啟發提出的關於三個組合數積和的同餘式猜想遺留部分，以及Tauraos關於Lucas數的一個優美同餘式猜想。項目負責人提出的許多原創性猜想（如涉及廣義中心三項式係數的61個新型1/π-級數）已受到國際同行的關注與研究。
