等邊半正多角形(equilateral semiregular polygon)亦稱等邊半正多邊形，是一種特殊的凸多角形。頂點個數為偶數，所有邊都相等，且相間的角相等的凸多角形稱為等邊半正多角形，若在六邊形ABCDEF中，AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，因而它是等邊半正多角形。
基本介紹
- 中文名：等邊半正多角形
- 外文名：equilateral semiregular polygon
- 所屬學科：數學
- 別名：等邊半正多邊形
- 所屬問題：平面幾何（多邊形）
基本概念,定義,相關概念,相關定理,
基本概念
定義
邊數為偶數的凸多邊形，假若其中所有的邊都相等，且相間的角相等，這個凸多邊形叫做等邊半正多邊形(等邊半正多角形) 。
圖1 等邊半正多邊形(等邊半正多角形)
相關概念
凸多邊形中，若它所有的邊都相等，且所有的角都相等，叫做正多邊形。
邊數為偶數的凸多邊形，假若其中相間的邊相等且所有角都相等，這個凸多邊形叫做等角半正多邊形(等角半正多角形)。
圖2 等角半正多邊形(等角半正多角形)
局部凸的星形多邊形，若它的所有邊都相等，且所有角都相等，叫做正星形多邊形(正星形多角形)，例如正五角星形。
邊數為偶數的局部凸的星形多邊形，若所有的邊相等，相間的角相等，叫做等邊半正星形多邊形(等邊半正星形多角形)，邊數為偶數的局部凸的星形多邊形，若所有的角相等，相間的邊相等，叫做等角半正星形多邊形。
相關定理
定理1 等邊半正多邊形各角的平分線共點，這點到各邊等距離。
圖3
證明 在等邊半正多邊形ABC......K中，設∠ABC、∠BCD的平分線相交於O，聯OA、 OD(圖3)，因BC=CD，OC = OC，∠OCB=∠OCD，所以 △OCB≌△OCD，所以∠OBC=∠ODC，但∠OBC=1/2ABC，∠ABC=∠CDE，所以∠ODC=1/2∠CDE，所以O點也在∠CDE的平分線上，同理，O點也在其它各角的平分線上，所以等邊半正多邊形各角的平分線交於一點。因為角的平分線上的點到角的兩邊等距離，所以這點到各邊等距離。
定理2 任意(凸的或星形的)正多角形或等邊半正多角形可有一內切圓。
證明假設AB，BC，CD和DE(圖4)為一正多角形或等邊半正多角形相連續的四邊，K為直線AB和CD的交點，L為直線BC和DE的交點(如果相間而取的二邊，如AB與CD平行，則邊BC與DE亦將平行(因為這個多角形相間而取的角應相等)，點E與點A重合，我們便得一個菱形，對它來說，這定理也是正確的)。
圖4
三角形BCK和DCL相等(BC = DC，∠KBC =∠LDC，∠KCB =∠LCD)，所以三角形BCK的邊BC外的旁切圓半徑等於三角形DCL的對應的旁切圓半徑，因為該二圓心在∠BCD的平分線CX上，所以該二圓心重合，因而兩圓周重合。
這樣就得到了與射線BA，DE以及與邊BC，CD相切的圓周，對於BC，CD，DE各邊以及次一邊EF重複同樣的論述時，我們相信，該圓周與邊DE及射線EF相切，等。
定理3 任意(凸的或星形的)正多角形或等角半正多角形可有一外接圓。
圖5
證明假設A，B，C，D是所研究的多角形的四個相連續的頂點(圖5)，O為三角形ABC的外接圓心。
三角形ABC與DCB相等(AB = DC，BC = CB，∠ABC=∠DCB)，因而三角形ABC的外接圓半徑OA = OB = OC，與三角形DCB的外接圓半徑相等。其次，二外接圓的圓心都線上段BC的垂直平分線上。最後，二圓心在直線BC的同側，因為A和D二點在該直線的同側(由於凸的或局部凸的多角形)。由此推得，圓周ABC與BCD的圓心重合。
可見通過三頂點A，B，C的圓周必通過點D，按照同樣的考察方法可知該圓周也通過其餘的頂點。
定理2及3系1正多角形的外接圓心及內切圓心重合。
事實上，在這種情形下三角形OAB，OBC及OCD相等，因而外接圓心到各邊的距離相等。
系2等角半正多角形，相間而取的邊與同一圓周相切，這樣就得到兩個圓周，它們的圓心與外接圓心重合。
事實上，在圖5上，三角形OAB與OCD相等，所以相間而取的邊到外接圓心的距離相等。
系3等邊半正多角形，相間而取的頂點在同一圓周上，這樣就得到兩個圓周，它們的圓心與內切圓心重合。
事實上，在圖4上有OA=OC=OE，OB=OD。
定理4正多邊形各邊的垂直平分線共點，各角的平分線共點，且這兩點是同一點。
推論正多邊形的中心到各頂點等距離，到各邊也等距離，並且中心角等於
( n為邊數)。
定理5等角半正多邊形各邊的垂直平分線共點，這點到各頂點等距離。
