第二愛爾蘭公式

第二愛爾蘭公式（second Erlang formula）是愛爾蘭全利用度等待系統的一個重要公式，用以計算用戶呼叫需要等待的機率。

基本介紹

• 中文名：第二愛爾蘭公式
• 外文名：second Erlang formula

愛爾蘭全利用度等待系統

指A．K．愛爾蘭提出的容量有限全利用度線束，按等待（或叫排隊）方式工作的一種數學模型。

系統的輸入過程是平均到達率為λ的泊松分布形式的呼叫流。進入系統的呼叫，能夠占用線束中任意一條空閒線（或設備）。呼叫占用設備的時長，服從平均時長為1/μ的指數分布。如果呼叫到達時，系統中n個設備都處在忙狀態，則呼叫排隊等待，直到有空閒設備為其服務。而且系統按“先來到先服務”的原則為等待呼叫提供服務。該等待系統模型如圖所示。該橫型常用符號M/M/n表示，第一個字母M代表泊松輸入過程，第二個字母M代表指數分布的服務時長，第三個字母n代表服務設備數（系統容量）。

圖1 愛爾蘭全利用度等待系統模型

關於愛爾蘭全利用度等待系統，已給出計算系統狀態機率分布和呼叫等待時間機率分布的公式，其中包括著名的第二愛爾蘭公式（愛爾蘭公式C）。而且還給出計算呼叫的平均等待時長以及平均排隊長度等系統特性的公式。

愛爾蘭全利用度等待系統的理論，可套用於計算負載源數很大、接等待制工作的電信系統中各設備的負荷能力和服務質量，是計算電話系統和非話通信系統的基礎理論之一。

該理論在通信領域套用廣泛，雖然公式複雜，但設計有相應的曲線和圖表可供技術人員直接查閱結果。

公式內容

第二愛爾蘭公式用以計算用戶呼叫需要等待的機率，也即呼叫等待時間大於零的機率P（>0），也稱為愛爾蘭公式C，用符號表示，即

式中A為系統的流入負載強度，N為系統的服務設備數，為第一愛爾蘭公式的符號。

第二愛爾蘭公式假設，呼叫的到達是隨機的，在t時間內到達n個呼叫的機率服從泊松分布，即

式中λ為平均呼叫到達率，即單位時間內平均到達呼叫數。也稱為平均呼叫發生強度。呼叫占用服務設備的時長服從指數分布，即呼叫占用時間ξ大於某給定時間t的機率為P(ξ>t)=

1/μ為呼叫的平均占用時長，流入負載強度A=λ/μ呼叫遇系統的N個設備全忙時，則排隊等待。當有設備空閒下來時，系統按呼叫到達的先後順序，為排隊等待的呼叫服務。

套用範圍

第二愛爾蘭公式適用於負載源數相對很大、按等待制工作的全利用度通信系統。第二愛爾蘭公式可繪製成曲線，供工程設計中使用。