空間三線平行定理

空間三線平行定理(theorem of three parallel lines in space)是立體幾何的基本定理之一。如果兩條直線分別與第三條直線平行，則這兩條直線也互相平行，這一定理反映空間中彼此不同的直線平行關係的傳遞性。

基本介紹

• 中文名：空間三線平行定理
• 外文名：theorem of three parallel lines in space
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：空間幾何
• 簡介：平行於同一條直線的兩條直線平行

基本介紹

空間三線平行定理 平行於同一條直線的兩條直線互相平行。

如圖1，若a、b、c是不在同一個平面內的三條直線，a//b，a//c，則b//c。

圖1

空間的三線平行定理與平面上三線平行定理相類似，其結論明顯。它是推證空間等角定理和討論平行問題的依據，是證明其它定理的依據，從某種意義講與三垂線定理有類似的地位。

空間三線平行定理的證明

已知直線a//b，c//b。

求證 a//c。

證明 ①當三直線a，b，c共面時，這定理是平面幾何中的定理，用反證法證明，圖2。

圖2

∵在同一平面內的兩條不相重合的直線，它們的相互位置關係只可能有兩種：平行或相交，假定a不平行於c，那么a和c必相交於一點P。

又∵ 已知a//b，c//b，即經過P點有兩條直線都和EF平行。這和平行公理相矛盾。

所以a和c相交的假定是錯的。那么只有a//c成立。

②當a，b，c不共面時，過a，b所確定的平面α與過直線b，c所確定的平面β相交於b，在c上任取一點P(如圖3)，設a，P所確定的平面γ與β相交於c'，則c'與a可能相交或平行。

圖3

若c'與a相交於點M，則點M在α，β內，必在b上，與a//b矛盾。

若c'與a平行，且c'與b不平行，可設c與b相交於點Q，則點Q在γ，α內，必在α上，這與c'//a矛盾，所以c'//b。

因為c'∩c=P，c'//b，c//b，所以c'與c重合(平行公理)，故c與a平行。

例題解析

【例1】空間的兩個角，如果對應邊同向平行，則這兩個角相等。

已知：∠BAC和∠B'A'C'為空間兩個角，AB//A'B'，AC//A'C'，且方向相同。

求證：∠BAC=∠B'A'C'。

圖4

證明：分別在∠BAC與∠B'A'C'的兩邊截取AD= A'D'，AE= A'E'，

∵AD平行且等於A'D'，

∴AA'D'D是平行四邊形，

∴AA'平行且等於DD'，

又∵AE平行且等於A'E'，

∴AA'E'E是平行四邊形，

∴AA'平行且等於EE'，

於是DD'平行且等於EE'（三線平行定理），從而ED= E'D'，

∴△ADE≌△A'D'E'，

∴∠BAC= ∠B'AC'.