穩定廣義有限元法的研究與若干典型工程套用

《穩定廣義有限元法的研究與若干典型工程套用》是依託中山大學，由張慶輝擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：穩定廣義有限元法的研究與若干典型工程套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：張慶輝
• 依託單位：中山大學

中文摘要

廣義有限元法（GFEM）和拓展有限元法（XFEM）是最近二十多年新興的數值模擬技術。兩者可以用單元分解（PU）的概念統一起來，只是在整體或局部富集上有差別，文中統一用GFEM來代替二者。GFEM對規則格線上的有限元富集（附加）一些可以表征真解局部特徵的基函式，來克服傳統有限元格線劃分的困難和不能有效模擬非光滑特徵的缺點。多數情況下，富集函式與有限元PU函式具有較強的線性相關性，導致GFEM剛度矩陣的條件數很高、甚至是奇異的。本項目致力於穩定GFEM的研究，主要想法是保持傳統GFEM格線與逼近性優勢的同時，將其剛度矩陣條件數控制到與有限元同階。我們將穩定GFEM套用到四類典型非光滑性問題，裂紋、界面、奇性和高階問題。我們還研究數值積分、本質邊界條件、blending元等GFEM執行過程中的難題。最後，我們將評價穩定GFEM與有限元等方法的優缺點，識別穩定GFEM優於有限元的工程問題類別。

結題摘要

本項目研究穩定廣義有限元法理論基礎及其在典型工程問題中的套用。廣義有限元利用固定規則格線有限元耦合表征真解局部特徵的富集數解決困難的工程問題，比如斷裂、界面、角奇性問題等。本項目執行幾年內，對廣義有限元的基礎理論和工程套用都做出重要進展。在基礎理論方面，我們研究了穩定性和魯棒性，該問題由廣義有限元的富集函式與有限元函式的線性相關性引起，是該領域難點之一。我們採取將富集函式減掉其插值和局部正交化等穩定化技術，使新方法既保持常規廣義有限元的最佳收斂階，還使剛度矩陣條件數與有限元法同階，該項工作是廣義有限元領域的重要進展之一。 我們將穩定廣義有限元套用於斷裂問題，斷裂問題具有間斷和奇性雙重非光滑特徵，通過裂尖奇解的漸進展開提取主奇性函式作為富集函式，成功獲得了穩定且最佳收斂的廣義有限元，進一步將奇性富集節點凝聚，極大地減少方法的自由度。這一系列相關工作，對斷裂問題高精度數值模擬起到重要促進作用。我們還將穩定廣義有限元套用於帶奇性界面問題和拋物界面問題，同時處理界面處梯度間斷和角點處的奇性，據我們了解，同時處理梯度間斷和角奇性的研究很少。在角奇性方面，我們研究了四邊形漸進格線以及角奇性問題的有限體積法，極大擴充了角奇性問題的處理方案。此外，我們發展了任意界數值微分的多尺度快速正則化算法，將矩陣非零元個數壓縮到線性複雜度。 總體來講，本項目的實施從基礎理論到工程套用都達到了預期目標，對本領域的一些難點問題做出重要進展。在本項目支持下，本人正式發表科研論文5篇，投稿在審1篇，已完成預投稿1篇，其中第一或通訊作者論文4篇，Thomson Reuters JCR一區論文4篇，支持項目相關工程套用領域論文2篇，撰寫中的論文初稿4篇。項目執行期內，本人晉升為教授和博導，招收博士生2名、碩士生4名、博士後1名，陸續獲得廣東省自然科學傑青和國家自然基金重大研究計畫項目集成項目（子課題）的資助。