眾和數，即一個自然數的各位數字之和。
基本介紹
- 中文名：眾和數
- 釋義：一個自然數的各位數字之和
- 規律：眾和數=九宮數=洛書數
- 例如：2013的眾和數是2+0+1+3=6
例如：
2013=2+0+1+3=6；
668的眾和數是6+6+8=20，2+0=2；
就是≥10的整數，求其眾和數。眾和數=九宮數=洛書數。
定義， 性質/定理以及發現的緣由，部分性質推廣：
1.設f(x)是這樣的一個映射，使得：表象數字的每一位進行求和。
即：令：x=
=
其中，
是表象數字
則有：f(x)=f( )=
2.定義：n個f複合而成的函式為：
[ 其中，有n個f ]
那么，必然存在一個最小的正整數 j ,使得：
我們不妨令：g(x)=
性質/定理：*1.周期性：
=......=
k為任意正整數
*2.餘數決定性: 若一個數 x除 9 所得餘數為：i
則：
=
*3.間接映射性： 當 0<t<10 ,
則：
a為任意正整數
*4.類疊代性： 若x可以分解為n個數字的乘積：
，
則：
*5.可替換性：若存在下面形式的式子,其中是任意n個正整數字的乘積，則其中任意一項
在
中可以被替換為
即：
（注意，
可以是
的形式）
*6.若：0 < i< 10 , k 為任意正整數
則：
*
（註：3、4、5定理，均可以利用第1、2兩條來推出。讀者可以嘗試自行證明。）
發現緣由：筆者曾經看過一篇部落格，裡面講了一些關於數字與眾和數字的有趣性質。
它的第一行是： 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 .........
對應眾和數的後一行是：{1 2 4 8 7 5}{1 2 4 8 7 5}.........
因此，讀者與我都不難發現，經過眾和映射的後一行都是：{1，2，4，8，5，7}的周期循環。
而且，任意取一個數的後一行數，乘以2，取眾和映射，就恰好是後一個數的眾和數。
比如：512 對應 8 而8乘以2=16，取眾和映射，得到7 而7，恰好是2048對應的眾和數。
幸運的是，我在用餐時，想到了這樣一個有趣的發現：(這裡我隨意舉例)
71 x 89 = 6319
對應取f映射：(7+1)x(8+9).....(6+3+1+9) ；
即： 8 x 17....19
循環： 8 x8....10
即： 64....10
循環： 10....1
最終循環：1 = 1
不僅如此，筆者隨機驗證了3個數以上相乘對應的最終結果，都是：i=i的結果。
由此，我猜想這很可能是一個正確的定理。（事實上，這就是定理*4的雛形。）
然而，這些還不能證明兩個上述定理。因此，我開始初步分析函式:
的性質。
但，分析它的難度較大，因此，我決定先分析函式:
的特點規律：
取這樣的二維數組：
對定理1的證明比較枯燥，筆者不再多贅述。讀者可以自己證明。
筆者充分利用周期性，餘數特性，解決了第3，4定理的證明。（可以是歸納法）
由此，關於1，2，4，8，7，5的問題也就解決了。
部分性質推廣：實際上，不僅僅是:
類型的眾和數有這樣的特點，任意數的n次方，其眾和數，都具有周期性。
而且，僅在這些的循環方式中：
當：i = 2，對應：{1 2 4 8 7 5...}
當：i = 3，對應：{1 3 }{9...}
當：i = 4，對應：{1 4 7...}
當：i = 5，對應：{1 5 7 8 4 2...}
當：i = 6，對應：{1 6 }{9...}
當：i = 7，對應：{1 7 4...}
當：i = 8，對應：{1 8...}
當：i = 9，對應：{1 9...}
這些性質，留給讀者自行證明。我不再一一贅述。(提示：定理*6)
