理想點

定義介紹

在雙曲線幾何中，理想點，歐米茄點或無窮遠點是雙曲面平面空間外的明確定義點。給定線l和點P，但點P不在l上，右和左限制平行於l到p在理想點收斂到l。

與投影不同，理想點形成的是邊界，而不是子體。因此，儘管這些點定義的位置很好，但是這些線不會在理想點相交，本身也不屬於雙曲線空間。

理想點與任何其他點或理想點之間的雙曲線距離是無窮大的。

霍爾和霍布斯的中心是理想的點; 當它們具有相同的中心時，兩個環形圈是同心的。

如果三角形的所有頂點都是理想點，則三角形是理想的三角形。

理想的三角形有許多有趣的屬性：

（1）所有理想的三角形都是一致的。

（2）理想三角形的內角全部為零。

（3）任何理想的三角形都有無限的周長。

（4）任何理想的三角形具有面積π/ -K，其中K是平面的（負）曲率。

如果四邊形的所有頂點都是理想點，則三角形是理想的四邊形。

雖然所有理想的三角形都是一致的，但不是所有的四邊形都是，對角線可以彼此形成不同的角度，從而產生不均勻的四邊形：

（1）理想四邊形的內角全部為零。

（2）任何理想的四邊形都有無限周長。

（3）任何理想（凸非交叉）四邊形具有面積2π/ -K，其中K是平面的（負）曲率。

兩個對角線彼此垂直的理想四邊形形成一個理想的正方形。

在費迪南德·卡爾·施維卡特所謂的“星體幾何”的備忘錄中使用了這個概念。第一個出版物承認雙曲線幾何的可能性。

由於正邊形可以被細分為（n-2）個理想三角形，區域（n-2）是理想三角形的面積。

在克萊因圓盤模型和龐加萊圓盤模型的雙曲面中，理想點在單位圓（雙曲面）或單位球（較高維度）上，這是雙曲面的不可達邊界。

當將相同的雙曲線投射到克萊因圓盤模型和龐加萊圓盤模型時，兩條線都經過相同的兩個理想點（兩個模型的理想點在同一點上）。

克萊恩圓盤模型

給定打開的單位盤中的兩個不同點p和q，連線它們的直線與單位圓相交，為使得點依次為a，p，q，b，在兩個理想點（a和b）中標記，使得|aq| > | ap | 和| pb | > | qb |。那么p和q之間的雙曲線距離表示為

龐加萊圓盤模型

給定打開單位盤中的兩個不同點p和q，則與連線它們的邊界正交的唯一圓與兩個理想點（a和b）中的單位圓相交，使得點依次為a，p， q，b這樣| aq | > | ap | 和| pb | > | qb |。那么p和q之間的雙曲線距離表示為