無限維拓撲學中的強萬有系統及其套用

《無限維拓撲學中的強萬有系統及其套用》是依託汕頭大學，由楊忠強擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：無限維拓撲學中的強萬有系統及其套用
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：楊忠強
• 依託單位：汕頭大學

項目摘要

無限維拓撲學是拓撲學的一個生機勃勃的重要分支，它與諸多數學學科有密切的聯繫.強萬有系統是在無限維拓撲學的研究中經常使用的一種非常重要的方法，它所發揮的作用是以往所使用的其他方法無法替代的，所以對這種方法本身的研究已經成為無限維拓.撲學的研究熱點之一. 本項目在課題組成員已有工作的基礎上主要研究以下問題：第一，對於各種空間類或空間列（特別是3元和4元空間列）的類，研究這些類的強萬有系統並利用此給出一些空間和空間列的拓撲特徵. 第二，研究非緊空間的函式空間和超空間的拓撲結構. 第三，研究模糊數在各種拓撲下的拓撲結構. 第四，為滿足各種套用，對以上空間給出滿足一定條件的相容度量.本課題的研究內容具有圖像處理、模糊數學、隨機集理論等實際背景的特點，又有3元和4元空間列類的強萬有系統理論研究的創新，將會促進國內拓撲發展比較薄弱的分支- - -無限維拓撲學的進一步發展.

結題摘要

本項目研究的核心是用無限維拓撲學的手段給出非緊空間的函式空間和超空間的拓撲結構，即證明在各種自然的拓撲下，各種函式空間和超空間以及與它們的子空間組成的組同胚於一些典型的空間組，例如，Hilbert 方體和Hilbert 空間等。我們完全給出了局部緊度量空間的上半連續空間和連續函式空間在Fell拓撲下的拓撲結構，證明了這個空間對同胚於(Q, c0)或者(Q, c0∪(Q\Σ))，其中，Q 是可數多個閉區間 [-1,1] 的乘積，c0 是其中收斂於0的數列，Σ 其中絕對值的上確界小於1的數列。我們給出了在Hausdorff度量拓撲下，上半連續函式空間同胚於可分Hilbert空間和不可分Hilbert空間的條件。我們還給出在一種自然的拓撲下，支撐包含於歐氏空間Rn的凸子空間X的模糊數空間同胚於Q（當X是緊的時候）或者Σ（當X是非緊局部緊的時候）。在反射閉集族的研究方面，我們給出在一些特殊情況下，一個閉集族是反射的充分必要條件。現在已有學者在繼續我們的本項工作研究。在映射構造方面，建立了中緊性，序列中緊性與連續選擇之間的關係，發展了Michael的經典方法。討論了度量空間在有限子序列覆蓋映射下的性質，從而解決了相關的兩個公開問題。我們給出了模糊數值函式空間的性質及其在模糊推理中的套用。在模糊拓撲學的研究中，我們主要在L-模糊拓撲空間中，藉助L-模糊開集和近似開集的不等式引入了幾乎緊性、可數SP-緊性、強II型Nb 緊性與SSP-閉性與SP-Lindeloff集的等概念，給出了α-網、α-濾子、r-覆蓋等多種刻畫。在廣義拓撲空間的研究方面，引入了廣義α-連續和廣義α-不定函式的概念，研究了在這些映射下連通性、強連通性、α-分離性、緊性、α-緊性等廣義拓撲性質的保持性。此外，在一般拓撲空間中引入了兩類新空間——B-閉空間與強極不連通空間，B-閉空間是介於S-閉空間和H(i) 空間之間的一類空間，在強極不連通空間中，緊空間、B-閉空間、S-閉空間、H(i) 空間是彼此等價的。 共發表論文28篇，其中SCI論文4篇，EI 論文7篇。培養碩士研究生15名，博士研究生1名。