《漸近錐流形上色散方程的研究》是依託北京理工大學，由張軍勇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：漸近錐流形上色散方程的研究
- 依託單位：北京理工大學
- 項目負責人：張軍勇
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目擬採用調和分析和微局部分析研究漸近錐流形（如：漸近歐氏空間）上具有重要數學物理意義的波動、Schrödinger方程。 內容主要涉及：(1)研究漸近錐流形上拉普拉斯運算元的預解式、譜測度估計和解演化運算元的性質。主要困難是如何建立在各個爆破面既有衰減控制又能刻畫振盪性的表達式，這是因為漸近錐流形上的拉普拉斯運算元不再是橢圓運算元(在邊界上消失)，其相應的預解式和譜測度是比 Lagrangian分布更複雜的Legendre分布。(2)建立譜分析工具並結合雙線性技術研究漸近錐流形上波動、Schrödinger 方程所對應的傅立葉限制性估計的新結果。(3)建立整體Strichartz估計、 Morawetz 估計研究非線性色散方程的解的長時間行為（例如散射理論）；問題關鍵在於考察流形的幾何性質(例如：trapping, non-trapping測地流) 如何影響波和薛丁格演化傳播的正則性。
結題摘要
本項目針對非線性色散方程解的長時間行為的前沿問題，詳細研究了漸近錐流形的幾何性質如何影響具有重要數學物理意義的波動、Schrödinger方程解的存在性和散色理論。研究運算元的譜測度是本項目的基礎研究內容，同時也是譜分析領域的重要課題。本項目從漸近錐流形上拉普拉斯運算元的預解式、譜測度估計出發，得到了譜測度的重要表達式，該該研究成果既刻畫了其衰減性質又包含了振盪性質。通過該結果進而建立了整體Strichartz估計，並用於研究非線性色散方程的解的長時間行為；此外拓廣考察了流形的其他幾何性質(例如:trapping, non-trapping 測地流) 如何影響波和薛丁格演化傳播的正則性。 該研究結果在理論研究上具有重要科學意義。本項目所發展的新方法基於調和分析，譜分析和微局部分析方法之上，該方法能夠處理原來方法處理不了的退化運算元所帶來的奇性。該方法不僅僅用於研究偏微分方程的核心問題（例如適定性問題），還可以開發建立流形上的調和分析工具。
