清宮定理,幾何著名定理之一,由日本數學家清宮俊雄(Toshio Seimiya)提出。
設P、Q為△ABC的外接圓上異於A、B、C的兩點,P關於三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W,且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線於D、E、F,則D、E、F在同一直線上.
基本介紹
- 中文名:清宮定理
- 提出者:清宮俊雄
- 套用學科:數學
- 適用領域範圍:圓與直線的計算
清宮定理,證明,
清宮定理
證明
P、Q兩點和D、F、E、三點有如下關係:
將三角形的三邊或者其延長線作為鏡面,則從P點出發的光線照到D點經過BC反射以後通過Q點,從P點出發的光線照到E點經AC的延長線反射後通過Q點,從P點出發的光線照到F點後通過Q點
我們決定將證明清宮定理的方針確定如下:因為D、E、F三點中,有兩點在△ABC的邊上,其餘一點在邊的延長線上,
如證明
![](/img/a/0e7/f03352578ae2ffaf2026376c78f6.jpg)
則根據梅涅勞斯定理的逆定理,就可證明DEF三點在同一直線上。
首先,A、B、P、C四點共圓,因此
∠PCE=∠ABP
但是,點P和V關於CA對稱
所以∠PCV=2∠PCE
又因為P和W關於AB對稱,所以
∠PBW=2∠ABP![清宮定理 清宮定理](/img/6/c83/nBnaugjZmJWZjVTMhVWOjVjYxUTZxAzNkhjMlRzM4ITYyQDZkJTNykTNxYzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
![清宮定理 清宮定理](/img/6/c83/nBnaugjZmJWZjVTMhVWOjVjYxUTZxAzNkhjMlRzM4ITYyQDZkJTNykTNxYzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
從這三個式子,有
∠PCV=∠PBW
另一方面,因為∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所對的圓周角,所以
∠PCQ=∠PBQ
兩式相加,有
∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ
即∠QCV=∠QBW
即△QCV和△QBW有一個頂角相等,因此
![](/img/2/d8d/b071bcf72db102ebe7cfa50ce75c.jpg)
但是
,
,所以
![](/img/d/cea/9143228d5e7500e48499def9f0a8.jpg)
![](/img/5/0e1/51692e183964a99f9d934c11c1ec.jpg)
![](/img/7/1e3/7911ac35a3bc5743dbb604e058d8.jpg)
同理![](/img/d/9e1/3b59be303ff418fa4271f3772501.jpg)
![](/img/d/9e1/3b59be303ff418fa4271f3772501.jpg)
![](/img/c/d60/14e94e52028ad819a94e57d581a6.jpg)
於是
![](/img/f/e09/2fc6b3d7aefba5d9320634c14c2d.jpg)
![](/img/d/dfa/4d0a890e2378cf10355c234f38af.jpg)
![](/img/2/831/fa7e0103f33cfe73ff3fc4fec7bc.jpg)
![](/img/4/b4f/619b070a3be42e1db0a1b54d31f1.jpg)
根據梅涅勞斯定理的逆定理,D、E、F三點在同一直線上