基本介紹
- 中文名：海盜分金
- 經濟學：模型
- 假設前提：海盜都是絕頂聰明且很理智
- 推理：從後向前推
模型,假設前提,推理過程,結果,演繹推理,假設,條件,問題,使用,推理過程,本題推廣,
模型
假設前提
假定“每個海盜都是絕頂聰明且很理智”，那么“第一個海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自己的收益最大化？”
推理過程
推理過程是這樣的：
從後向前推，如果1至3號強盜都餵了鯊魚，只剩4號和5號的話，5號一定投反對票讓4號餵鯊魚，以獨吞全部金幣。所以，4號惟有支持3號才能保命。
3號知道這一點，就會提出“100，0，0”的分配方案，對4號、5號一毛不拔而將全部金幣歸為已有，因為他知道4號一無所獲但還是會投贊成票，再加上自己一票，他的方案即可通過。
不過，2號推知3號的方案，就會提出“98，0，1，1”的方案，即放棄3號，而給予4號和5號各一枚金幣。由於該方案對於4號和5號來說比在3號分配時更為有利，他們將支持他而不希望他出局而由3號來分配。這樣，2號將拿走98枚金幣。
同樣，2號的方案也會被1號所洞悉，1號並將提出（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）的方案，即放棄2號，而給3號一枚金幣，同時給4號（或5號）2枚金幣。由於1號的這一方案對於3號和4號（或5號）來說，相比2號分配時更優，他們將投1號的贊成票，再加上1號自己的票，1號的方案可獲通過，97枚金幣可輕鬆落入囊中。這無疑是1號能夠獲取最大收益的方案了！答案是：1號強盜分給3號1枚金幣，分給4號或5號強盜2枚，自己獨得97枚。分配方案可寫成（97，0，1，2，0）或（97，0，1，0，2）。
企業中的一把手，在搞內部人控制時，經常是拋開二號人物，而與會計和出納們打得火熱，就是因為公司里的小人物好收買。
1號看起來最有可能餵鯊魚，但他牢牢地把握住先發優勢，結果不但消除了死亡威脅，還收益最大。這不正是全球化過程中先進國家的先發優勢嗎？而5號，看起來最安全，沒有死亡的威脅，甚至還能坐收漁人之利，卻因不得不看別人臉色行事而只能分得一小杯羹。
不過，模型任意改變一個假設條件，最終結果都不一樣。而現實世界遠比模型複雜。
首先，現實中肯定不會是人人都“絕對理性”。回到“海盜分金”的模型中，只要3號、4號或5號中有一個人偏離了絕對聰明的假設，海盜1號無論怎么分都可能會被扔到海里去了。所以，1號首先要考慮的就是他的海盜兄弟們的聰明和理性究竟靠得住靠不住，否則先分者倒霉。
如果某人偏好看同夥被扔進海里餵鯊魚。果真如此，1號自以為得意的方案豈不成了自掘墳墓！
通常，現實中人人都有自認的公平標準，因而時常會嘟嚷：“誰動了我的乳酪？”可以料想，一旦1號所提方案和其所想的不符，就會有人大鬧……當大家都鬧起來的時候，1號能拿著97枚金幣毫髮無損、鎮定自若地走出去嗎？最大的可能就是，海盜們會要求修改規則，然後重新分配。想一想二戰前的希特勒德國吧！
而假如由一次博弈變成重複博弈呢？比如，大家講清楚下次再得100枚金幣時，先由2號海盜來分……然後是3號……
最可怕的是其他四人形成一個反1號的大聯盟並制定出新規則：四人平分金幣，將1號扔進大海…這就是窮人平均財富，將富人丟進海里的仇富機械平均理念。
制度規範行為，理性戰勝愚昧！
如果假設變為，是10人分100枚金幣，投票50%或以上才能通過，否則他將被扔入大海餵鯊魚，依此類推。50%是問題的關鍵，海盜可以投自己的票。因此如果剩下兩個人，無論什麼方案都會被通過，即100，0。
往上推一步，3個人時，倒數第三個人知道只剩兩個人時的分配情況，因此它會團結最後一個人，給他一個金幣
“往前推一步。當前加一個更兇猛的海盜P8。P10知道———P8知道他知道———如果P8的方案被否決了，遊戲就會只由P9和P10來繼續，而P10就一枚金幣也得不到。所以P8知道，只要給P10一枚金幣，P10就會同意他的方案（當然，如果不給P10一枚金幣，P10反正什麼也得不到，寧可投票讓P8去餵魚）。所以P8的最佳策略是：P10得1枚，P9什麼也得不到，P8得99枚。
P7的情況差不多。他只要得一票就可以了，給P9一枚金幣就可以讓他投票贊同這個方案，因為在接下來P8的方案中P9什麼也得不到。P6也是相同的推理方法只不過他要說服他的兩個同伴，於是他給在P7方案中什麼也得不到的P8和P10一枚金幣，自己留下98枚。
依此類推，最終P1的最佳方案是：他自己得96枚，給每一個在P2方案中什麼也得不到的P3、P5、P7和P9一枚金幣。
結果
結果，“海盜分金”最後的結果是P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8、P9、P10各可以獲得96、0、1、0、1、0、1、0、1、0枚金幣。
在“海盜分金”中，任何“分配者”想讓自己的方案獲得通過的關鍵是，事先考慮清楚“挑戰者”的分配方案是什麼，並用最小的代價獲取最大收益，拉攏“挑戰者”分配方案中最不得意的人們。
真地是難以置信。P1看起來最有可能餵鯊魚，但他牢牢地把握住先發優勢，結果不但消除了死亡威脅，還獲得了最大收益。而P10，看起來最安全，沒有死亡的威脅，甚至還能坐收漁人之利，但卻因不得不看別人臉色行事，結果連一小杯羹都無法分到，卻只能夠保住性命而已。
演繹推理
假設
5個海盜搶到了100枚金幣，每一顆都一樣的大小和價值。
他們決定這么分：
- 抽籤決定自己的號碼（1，2，3，4，5）
- 首先，由1號提出分配方案，然後大家5人進行表決，當半數以上的人同意時（包括半數），按照他的提案進行分配，否則將被扔入大海餵鯊魚。
- 如果1號死後，再由2號提出分配方案，然後大家4人進行表決，若且唯若半超過半數的人同意時，按照他的提案進行分配，否則將被扔入大海餵鯊魚。
- 依次類推......
條件
每個海盜都是很聰明的人，都能很理智的判斷得失，從而做出選擇。
問題
第一個海盜提出怎樣的分配方案才能夠使自己的收益最大化?
（如果在規則中加上下面一條會更加完善：海盜在自己的收益最大化的前提下樂意看到其他海盜被扔入大海餵鯊魚。不加也說的過去，因為其他海盜被扔入大海餵鯊魚符合每個海盜的最大化利益。）
使用
首先到了4號提出的方案的時候肯定是最終方案，因為不管5號同意不同意都能通過，所以4號5號不必擔心自己被投入大海。那此時5號獲得的金幣為0，4號獲得的金幣為100。
5號：因為4號提方案的時候 ，自己獲取的金幣為0 。所以只要4號之前的人分配給自己的金幣大於0就同意該方案。
4號：如果3號提的方案一定能獲得通過（原因：3號給5號的金幣大於0， 5號就同意 因此就能通過），那自己獲得的金幣就為0，所以只要2號讓自己獲得的金幣大於0就會同意。
3號：因為到了自己提方案的時候可以給5號一金幣，自己的方案就能通過，但考慮到2號提方案的時候給4號一個金幣，2號的方案就會通過，那自己獲得的金幣就為0。所以只要1號讓自己獲得的金幣大於0就會同意。
2號：因為到了自己提方案的時候只要給4號一金幣，就能獲得通過，根本就不用顧及3 號 5號同意不同意，所以不管1號怎么提都不會同意。
1號：2號肯定不會同意。但只要給3號一塊金幣，5號一塊金幣（因為5號如果不同意，那么4號分配的時候，他什麼都拿不到）就能獲得通過。
所以答案是
98，0，1，0，1。
推理過程
推理①：
假設①：1、2、3號已被扔入海中，由4號分寶石。
由假設①推理出：
結論① ：4號的方案必為100、0，且必定通過。（故4號不可能被扔入海中，與假設①不矛盾）
推理②：（要用到推理①的結論）
假設②：1、2號已被扔入海中，由3號分寶石。
由結論①、假設② 推理出：
結論②： 3號進行“推理①”的推理，得到結論①後，知道了：自己只需給5號多於0個寶石，即方案為99、0、1，其方案就必定通過。（故3號不可能被扔入海中，與假設②不矛盾，只要與假設②不矛盾就行了，與假設①沒有絲毫關係，因為它們是兩個互相獨立的推理。）
餘下的推理依次類推。
本題推廣
有X（1=<X=<202）個海盜，100顆寶石，其它規則同上。
則1號海盜的最大化收益 Y =101-（（X+1）/2所得數取整）。
（當X=201及X=202時，1號海盜的最大化收益為0，但可保命。）
Z（2=<Z=<X）號海盜的收益：Z為奇數時收益為 1， Z為偶數時收益為 0 。
對於X>202時情況，可先在X=500個的情況下進行討論，然後再作推廣。
依然是使用倒推法。
203號海盜必須獲得102張贊成票，但他無法用100個寶石收買到101名同夥的支持。因此，無論203號提出什麼樣的分配方案，他都注定會被扔到海里去餵魚。
204號海盜必須獲得102張贊成票，203號為了能保住性命，就必須讓204號的方案通過，避免由203號自己來提出分配方案，所以無論204號海盜提出什麼樣的方案，都可以得到203號的堅定支持。這樣204號海盜就可以保命：他可以得到他自己的1票、203號的1票、以及用100個寶石收買到的100名同夥的贊成票，剛好達到所需的半數支持。能從204號那裡獲得1個寶石的海盜，必屬於按照202號海盜的方案將一無所獲的那102名海盜之列。
205號海盜必須獲得103張贊成票，但他無法用100個寶石收買到102名同夥的支持。因此，無論205提出什麼樣的分配方案，他都注定會被扔到海里去餵魚。
206號海盜必須獲得103張贊成票，他可以得到205號的堅定支持，但他無法用100個寶石收買到101名同夥的支持。因此，無論206號提出什麼樣的分配方案，他都注定會被扔到海里去餵魚。
207號海盜必須獲得104張贊成票，他可以得到205號和206號的堅定支持，但他無法用100個寶石收買到101名同夥的支持。因此，無論207號提出什麼樣的分配方案，他都注定會被扔到海里去餵魚。
208號海盜必須獲得104張贊成票，他可以得到205號、206號、207號的堅定支持，加上他自己1票以及收買的100票，使他得以保命。從208號那裡獲得1個寶石的海盜，必屬於那些按照204號方案將一無所獲的那104名海盜之列。
眼下可以看出一條新的、此後將一直有效的規律：那些方案能通過的海盜（他們的分配方案全都是把寶石用來收買100名同夥，自己連1個寶石都得不到）相隔的距離越來越遠，而在他們之間的海盜則無論提出什麼樣的方案都會被扔進海里。因此，為了保命，他們必會投票支持排在他們前面的海盜提出的任何分配方案。得以避免葬身魚腹的海盜包括201、202、204、208、216、232、264、328、456號，
即200+1、200+2、200+4、200+8、200+16、200+32、200+64、200+128、200+256。即
200+2的0次冪，200+2的1次冪，200+2的2次冪，200+2的3次冪，200+2的4次冪，200+2的5次冪，200+2的6次冪，200+2的7次冪，200+2的8次冪，
即其號碼等於200加2的某次冪。
對本題作更一般的推廣
有X個海盜，A 顆寶石，其它規則同上。
當X<2A+2時，
則1號海盜的最大化收益 Y=A+1-（（X+1）/2所得數取整）。
（當X=2A+1時，1號海盜的最大化收益為0，但可保命。）
Z號（2=<Z=<X）海盜的收益：Z為奇數時收益為 1， Z為偶數時收益為 0 。
當X>=2A+2時，
若X=2A+2的B次冪，則1號海盜可保命，但無收益。其他海盜的收益情況由前面討論可知有規律，但海盜的編號不固定，對它們的表述省略。
若X不等於2A+2的某次冪，設B=b是能使（X>2A+2的B次冪）成立的最大B，則（X+1-（2A+2的b次冪））號海盜可保命，但無收益。之前的海盜都會被扔到海里去餵魚。之後的海盜的收益情況由前面討論可知有規律，但海盜的編號不固定，對它們的表述省略。
