河流數學模型

影響及預測

影響

河床演變對於水利工程建設及其他國民經濟部門有重大影響，需要對可能產生的沖淤變化作出定性和定量的預測。

預測方法

常用的方法有：①類比模型。根據河段實測地形和水文、泥沙資料進行河床演變分析，掌握河床演變的規律及其影響因素，從而推斷本河段或相鄰河段可能發生的沖淤變化。②物理模型。利用水流和泥沙運動力學相似原理，複製與原型相似的邊界條件和動力條件，通過試驗來預測河床沖淤變化。③數學模型。根據水流、泥沙運動規律，建立基本數學方程式，用數值方法求解這些方程式，得出河床沖淤變化的近似解。各個方法都有其優點和局限性，應根據具體情況合理選用。

數學模型

根據研究的要求和條件，數學模型可採用一維模型、二維模型和三維模型。目前以一維模型使用較為廣泛，二維模型正在迅速發展，三維模型則較少套用。

一維模型

一維模型只研究河流的縱向變形，計算斷面平均的水力、泥沙因素及平均沖淤厚度沿流程變化和因時變化，所依據的基本方程式是一維的水流連續方程、水流運動方程式、泥沙連續方程式、水流挾沙能力公式，如考慮不平衡輸沙還有泥沙擴散方程式。求解的方法一種是耦合解，即對水流方程式與泥沙方程式同時聯立求解，得到河床沖淤變化；另一種是非耦合解，即先求解水流方程式，求出有關的水力要素，後求解泥沙方程式，從而得到河床沖淤交化。在每種求解方法中又按邊界水流條件是恆定或非恆定情況分為恆定流解和非恆定流解。數值計算方法通常採用有限差分法，非耦合解一般直接使用有限差分法，耦合解則可直接使用有限差分，也可採用特徵線的有限差分方法。在實際工作中為簡化計算多採用非耦合的恆定流解並直接使用有限差分方法。在計算水流時常用隱式差分格式，在計算河床沖淤時常用顯式差分格式。一維模型只能給出河流的平均沖淤情況，一般用來研究來水、來沙條件和侵蝕基面發生重大變化引起的河床變形及修建大型水利樞紐引起的上下遊河床的沖淤變化。

二維模型

二維模型又分為平面二維模型和垂直二維模型。平面二維模型通過求解平面二維的水流、泥沙方程式來獲得河床沖淤變化在平面上的分布情況。所依據的基本方程式是平面二維（沿水深平均）的水流連續方程式、泥沙連續方程式和水流挾沙能力公式，有時還引入泥沙擴散方程式。由於方程組非常複雜，為了簡化計算，多採用非耦合的恆定流解。數值計算可用有限差分法，當在直角坐標系中進行計算時多用交替方向的隱式差分格式，即所謂的ADI法。當在曲線坐標系中進行計算時可用曲線坐標求解，先進行坐標變換，也可用有限元法和其他數值方法。

數學模型的用途

垂直二維模型主要用來求解二維泥沙擴散方程式以研究懸移質運動過程，配合水流方程和泥沙連續方程也可確定河床沖淤變化。

20世紀50年代開始使用一維數學模型計算水庫淤積等河床變形問題，60年代以後，隨著計算機技術的進步，數學模型得到迅速發展，對一維模型研究較多，已建立了若干模型，可用來計算許多一維河床變形問題，80年代以來，二維模型也得到較快發展，但仍有許多問題有待於研究解決。