《正規族、正規函式及唯一性》是依託南京師範大學，由徐焱擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：正規族、正規函式及唯一性
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：徐焱
- 依託單位：南京師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目主要研究亞純函式的正規族、正規函式與唯一性理論。亞純函式正規族理論是複分析的經典課題，在複分析的發展中起著關鍵作用。由於新方法的產生和新套用的發現，目前此課題的研究依然十分活躍。我們將在這方面進行進一步的研究，具體有：關於例外（分擔）值或函式的正規族、不同函式族之間的正規關係、不正規點處函式族的性質、擬正規族、及正規族理論的套用等，另外也將探討高維情形的全純映射的正規族。正規函式是複分析的另一經典課題，且與正規族關係極為緊密，它在幾何函式理論研究中十分重要。但由於方法等原因，這方面成果還不多，我們希望在這方面做些探索工作並得到一些有意義的正規函式定則。亞純函式唯一性理論是複分析的一重要分支，也與正規族理論有著諸多關聯，目前這方面成果較豐富，但仍然有許多值得研究的問題。我們將主要研究：套用正規族理論研究亞純函式唯一性問題、Gross問題、以及全純(亞純)映射的唯一性。
結題摘要
亞純函式正規族理論是複分析中的經典課題並在複分析中有著重要的套用，正規函式是複分析的另一經典課題，且與正規族有著緊密的聯繫，在幾何函式理論研究中十分重要。本項目我們主要研究了亞純函式正規族、正規函式及相關問題，得到了一些有意義的結果，目前在國際學術刊物上已發表發表論文12篇（其中兩篇目前線上發表，1篇接受發表），另有幾篇在投或整理中。 主要研究成果有以下方面： 1. 研究了涉及例外函式的Miranda-Gu正規定則，得到結果改進與推廣了張國明-龐學誠-Zalcman等已有的相關結果。 2.研究了關於分擔函式的亞純函式族正規定則，推廣了常建明、方明亮-Zalcman等人相關結果，把其中的分擔值（函式）推廣到一般的亞純函式。 3. 從另一角度改進推廣了Miranda-Gu正規定則，即：允許函式族中函式取到0，且其k階導數取到1（或更一般的解析函式），而通過限制它們的重級來保證函式族正規，結果改進或推廣楊樂-張廣厚、Schwick、Bergweiler-Langley等人這方面的工作，也同時修正了Datt-Kumer的結果。 4.對已有的一些函式族正規定則的條件進行了研究，構造反例說明某些條件是最好的或必需的；研究了函式族在不正規點附近的性質，由此證明了：我們這些反例某種意義上是唯一的，還因此獲得了一些新的函式族正規定則。 5.根據Marty定則，任何在單位圓盤內正規的函式族必定存在正規常數，即：族中所有函式的球面導數在原點的共同上界。Bonk-Cherry首先得到了Montel正規族的正規常數，我們研究得到了Miranda正規族的正規常數的一個下界583。 6.研究了正規函式的正規定則，改進了陳懷惠-Lappan關於正規函式的幾個正規定則，主要減弱了對函式零點重級的要求，同時證明了：球面導數乘積只要在較小的集合上有界就能得到函式是正規；還得到了函式與其導數分擔集合的幾個關於正規函式的判定定則，由此推廣了Lehto-Virtanen關於正規函式的經典結果。 7.研究了某類函式的星形和凸性性質，還得到了一些星形和凸函式的判定定則，改進了Ponnusamy-Singh的相關結果，並舉例說明我們的某些結果是最好的。
