《正特徵域上層的(半)穩定性》是依託同濟大學，由李靈光擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：正特徵域上層的（半）穩定性
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：李靈光
- 依託單位：同濟大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
層的(半)穩定性是代數幾何中重要的研究課題，具有廣泛的套用。Frobenius態射是正特徵域代數幾何中特有的自態射，研究層的(半)穩定性在Frobenius態射作用下的變化情況具有重要意義。本項目擬主要研究兩個問題：第一，研究正特徵域上Frobenius正像層的(半)穩定性，希望證明在一定條件下高維代數簇上Frobenius推出作用保持層的(半)穩定性，並將此套用於正特徵域上層的模空間的研究中，得到層的模空間中某些子簇的幾何性質(例如：連通性、不可約性、光滑性和維數等)；第二，研究正特徵域上高維正規射影代數簇的微分形式層的強(半)穩定性，希望證明某些特殊的代數簇具有強(半)穩定的微分形式層，並將此結論套用於其他領域的研究。我們希望能夠給正特徵域代數幾何相關問題的研究帶來新的研究手段和不同的研究視角。
結題摘要
層的半穩定性是代數幾何中的重要研究課題，研究層的半穩定性在Frobenius態射拉回或推出作用下的變化情況在正特徵代數幾何研究中具有重要意義。本項目主要研究正特徵代數曲線上向量叢模空間的Frobenius分層結構以及正特徵高維代數簇上Frobenius正像層的半穩定性。設k是特徵為p＞0的代數閉域，X是k上虧格g(X)＞1的光滑射影代數曲線，M^{s}_X(r,d)是X上所有秩為r次數為d的穩定向量叢所構成的模空間。我們取得的主要研究成果是：I、對於特殊四元組(p,g,r,d)= (3,2,3,0)，給出模空間M^{s}_X(3,0)的Frobenius分層結構的完全分類，並得到了每個Frobenius分層片的幾何性質，證明了所有Frobenius分層片的不可約性，並且求出了所有Frobenius分層片的維數；II、對於一般的四元組(p,g,r,d)，給出模空間M^{s}_X(rp,d)中由所有極大Frobenius不穩定向量叢構成的Frobenius分層片的幾何性質，證明其光滑性、不可約性，並求出了其維數；III、證明虧格大於1的光滑射影代數X上存在秩為r次數為d的極大Frobenius不穩定向量叢的充分必要條件是d可被r整除。此外，我們通過研究有理主叢在結構群擴張作用下的半穩定性，研究了Frobenius正像層的半穩定性，給出正特徵高維光滑射影代數簇的餘切叢表示在Frobenius推出作用下保持半穩定性的充分條件。 研究正特徵向量叢模空間的Frobenius分層結構是模空間理論研究的重要問題，不僅對於理解模空間本身的整體性質具有重要意義，而且對於許多相關領域的研究也具有重要的套用。本項目的研究成果為進一步研究正特徵高秩向量叢模空間的Frobenius分層結構開拓了新思路，提供了新方法。正特徵高維光滑射影代數簇的餘切叢表示的Frobenius正像層的半穩定性研究成果可能套用於正特徵雙有理幾何的研究。
