蓋根堡多項式

蓋根堡多項式(Gegenbauer function)是蓋根堡微分方程的特殊解，又被翻譯為格根鮑爾多項式，超球多項式，蓋根鮑爾多項式等。具有帶權正交性。

基本介紹

• 中文名：蓋根堡多項式
• 外文名：Gegenbauer function
• 分類：計算機 數學
• 又名：格根鮑爾多項式
• 又稱：蓋根鮑爾多項式
• 類似：超球多項式
• 性質：正交性

定義

記

則係數多項式 就稱為帶參數 的k階蓋根堡多項式，也稱為超球不等式。

當 時蓋根堡多項式如下

當 時蓋根堡多項式如下

當是蓋根堡多項式如下：

特徵

1、多項式可以根據其生成函式來定義

2、多項式滿足遞推關係

3、蓋根堡多項式是蓋根堡微分方程的特殊解

當α=1/2時，方程式減少到勒讓德方程，蓋根堡多項式減少到勒讓德多項式。

當α=0時，方程式減少到切比雪夫微分方程，蓋根堡多項式減少到第一類的切比雪夫多項式。

4、它們是雅克比多項式的特殊情況

其中， 代表上升階乘的 。因此，也有羅德里格斯公式

歸一化

對於一個固定的α，所述多項式是在[-1,1]相對於所述加權函式正交

對於 而言

它們被歸一化

套用

在潛在理論和諧波分析的上下文中，蓋根堡多項式自然地表現為勒讓德多項式的擴展。

當n=3時，這給出了引力勢的勒讓德多項式擴展。類似的表達式可用於擴展球中的Poisson核心。

因此數量 是球面諧波，當被認為是x的函式。實際上，它們正好是帶狀球面諧波，達到歸一化常數。

蓋根堡多項式也出現在正定函式的理論中。