朗伯級數

朗伯級數是一種特殊形式的級數，也譯作蘭伯特級數等，形如∑_n-1(a_nx/(1-x))的函式項級數，其中a_n，x為實數，若∑a_n收斂，則當x≠±1時，該級數收斂；若∑a_n發散，則該級數的收斂域與冪級數∑a_nx相同，當|x|<1時，朗伯級數的和函式φ可表示成冪級數φ(x)=∑_n-1c_nx，其中c_n=∑_k|na_k，即c_n是下標為n的因數的那些k對應的a_k之和，朗伯級數是朗伯(J.H.Lambert)首先研究的，它在某些數論問題中有用並被推廣為復級數。

基本介紹

• 中文名：朗伯級數
• 外文名：Lambert series
• 所屬學科：高等數學
• 簡介：一種特殊形式的級數
• 發現者：朗伯(J.H.Lambert)

基本介紹

定義1 定義級數

為朗伯(Lambert)級數。

一方面，將(1)展成Fourier級數

艾森斯坦(Eisenstein)級數E_k(z)的Fourier展開式為

故

對於歐拉函式以及麥比烏斯函式，對應有

它們分別表示

另一方面，若給出了Fourier級數，則可將其改為朗伯級數

這個變換是麥比烏斯逆變換

相關介紹

研究朗伯級數是為了給自守形式的表示提供方便，拉馬努金計算了許多朗伯級數的值，其中較為著名的有如下幾個，稱為拉馬努金等式。

拉馬努金等式

下面給出等式（1）的證明。

由E₆(z)的變換公式有

將z=i代入得

所以E₆(i)=0，另一方面，根據Fourier展開式有

從而（1）式得證。