有理曲面上的一維半穩定層模空間

《有理曲面上的一維半穩定層模空間》是依託清華大學，由袁瑤擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：有理曲面上的一維半穩定層模空間
• 依託單位：清華大學
• 項目負責人：袁瑤
• 項目類別：青年科學基金項目

項目摘要

模空間理論在代數幾何領域中一直經久不衰。近年來，由於GW-DT-PT對應理論猜想的建立以及部分解決，再加上奇特對偶猜想向曲面的擴展，曲面上一維半穩定層的模空間越來越具有研究意義。 本項目旨在研究學習有理曲面上的一維半穩定層模空間，側重於研究模空間的自身幾何結構以及其上的行列式線叢，例如：計算模空間的歐拉數、貝蒂數以及霍奇數，計算行列式線叢的截面空間維數以及全純歐拉特徵。之前我們已經獲得一些個例的結果。我們期望在已有的工作經驗的基礎上改進技巧，取得更一般性的結果。

結題摘要

由於新興熱門的 Pandharipande-Thomas 不變數理論，加上奇特對偶猜想向曲面的拓展，曲面上一維半穩定層模空間吸引了越來越多數學學者的注意。本項目順勢而立，旨在對有理曲面上的這類模空間進行深入研究，側重於計算它們的拓撲量，以及驗證它們和無撓層模空間之間奇特對偶猜想的正確性。 經過三年的鑽研，我們取得了可喜的結果。我們算出大量這類模空間的貝蒂數，並證明這些貝蒂數並不依賴該模空間所參數化的層的歐拉特徵。這給出了有理曲面情形下，關於一維層模空間拓撲量的迄今為止最好的結果；儘管對於K3和阿貝爾曲面，早就有更為一般且完善的結論。此外對於較特殊的幾個情形，我們甚至能明確將模空間的胞腔分解寫出來。我們大膽猜想，如果有理曲面本身具有胞腔分解，其上的光滑的此類模空間也都具有。這個猜想未能在本項目結題時獲證，將留給今後的學習。 在奇特對偶猜想方面，我們也完成了重要突破。我們證明了在射影平面或是有理直紋面上，如果令模空間參數化第一陳類為豐富線叢歐拉特徵為0的一維半穩定層，並同時選取另一個模空間參數化秩為2第一陳類為0第二陳類也為2的半穩定無撓層，則奇特對偶猜想成立。這也是至今該猜想在有理曲面上所獲得的最具一般性的結果，是該領域一個重大突破。雖然在此領域還有更多的問題在前方等待，我們取得的階段性結果已然超出了我們在立項時的預期。 在項目執行階段，我們共完成論文6篇，其中2篇已發表在SCI收入的國際雜誌上，1篇已被國際SCI接收，另外3篇尚在審理。我們還有1篇文章正在撰寫中，預計將在2017年3月左右完成。