最優分析

最優分析是用數學規劃和控制論方法選擇最優方案所進行的數量分析。其目的是為制訂經濟政策和作出經濟決策提供依據。最最佳化，在數學中是指在某種類型約束下，使給定函式實現極大或極小。經濟活動的最最佳化，通常指在一定時期內有限資源的最優分配和利用，如人、財、物資源的合理分配，生產力資源的合理布局等。分析國民經濟最優的基本程式是： (1)確定國民經濟整體效益的最佳化目標。包括社會總產值、國民收入、社會產品增長速度、財政收支、消費基金等經濟指標及其他形式表示社會福利的效用函式; (2) 綜合分析社會經濟環境。主要考察社會生產力，人口增長率，資源利用效果，市場供求情況等制約經濟發展的諸種因素; (3) 分析具體經濟目標。

基本介紹

• 中文名：最優分析
• 作用：資源最優分配和利用
• 領域：統計學
• 分類：增長速度、勞動生產率

定義概述

經濟活動最最佳化問題，通常是一定時期內有限的各種資源的最優分配和利用的問題。不論在巨觀經濟範圍內，還是在微觀經濟範圍內，都大量地存在著這類問題，如資源的充分有效利用、生產力的合理布局、最優進出口策略、最優投資分配、最優價格體系等。在研究與解決國民經濟最最佳化問題時，首先需要確定反映國民經濟整體效益的最佳化目標，如消費基金、國民收入、人均國民收入、社會產品增長速度、勞動生產率等經濟指標以及其他形式的表示社會福利的效用函式，這些都可以被選為最佳化目標。其次，還必須對各種生產資源、生產能力、人口、生產技術水平等許多有關的客觀限制因素加以考慮。

方法詳解

最優分析採用數學方法，主要是數學規劃方法（解決動態過程的最最佳化問題時主要是採用最優控制方法），以及運籌學中的其他方法（如對策論、決策論、統籌方法）。其目的是為制訂經濟政策和作出經濟決策提供依據。

在數學上,最優分析就是數學規劃問題,即尋求函式的條件極值的問題。尋找受某些限制的一組自變數（通常是一組表示活動水平的決策變數）的數值，以使某個取決於這些自變數的函式達到最優值（最大值或最小值）。最優分析的數學模型由目標函式和約束條件組成。如果目標函式是決策變數的線性函式，而且約束條件也是決策變數的線性等式或線性不等式，則最優分析問題是一個線性規劃問題，否則就是非線性規劃問題。
任何一個線性規劃問題都有與之唯一等價的另一個線性規劃問題，前者稱為原規劃問題，後者稱為對偶規劃問題。由於它們之間有一一對應的等價關係，所以原規劃問題是它的對偶規劃問題的對偶規劃問題。
與標準形式的線性規劃問題（其數學模型見“線性規劃模型”）相對應的對偶規劃問題如下：
選擇y的值，藉以使目標函式u=BTy達到最小，且滿足下列約束條件：
函式約束ATy≥c
及
非負性約束：y≥0
式中y為對偶變數,m維列向量；C為CT的轉置,n維列向量；BT為B的轉置，m維行向量；AT為A的轉置,（n×m）矩陣。
如果原規劃問題存在著最優解（即使目標函式z達到最大的可行解），則其對偶規劃問題也存在最優解（即使目標函式u達到最小的可行解）,而且這時目標函式z的最大值與目標函式u的最小值相等。正是由於有這個重要性質，對偶規劃問題的最優解y*就是在原規劃問題中各種資源的約束量每變化一個單位所引起的目標函式最大值z*的變化量。y*在經濟意義上表示各種資源的影子價格。資源的影子價格給原規劃問題中各種稀缺資源對整體目標的效用提供了一種客觀的評價。
由於原規劃問題的最優解和對偶規劃問題的最優解是互相等價的，因此，當求解原規劃問題（特別是規模很大的問題）發生計算上的困難的時候，就可以方便地用求解其對偶規劃問題的辦法來求得最優解。此外，還可以將原規劃問題的解同其對偶規劃問題的解互相核對，以檢查求解的正確性。
除線性規劃問題外，最優分析問題還可以是其他類型的數學規劃問題，如非線性規劃問題、雙線性規劃問題、整數規劃問題、混合整數規劃問題、多目標規劃問題、隨機規劃問題等。