最佳一致逼近多項式

設 f(x) ∈C[a,b]，若存在P*_n屬於Hn，使得△(f,P*_n)=En，則稱P*_n是f(x)在[a,b]上的最佳一致逼近多項式。最佳一致逼近多項式是一種用多項式去逼近函式的方法，通常可利用切比雪夫定理進行求解。

基本介紹

• 中文名：最佳一致逼近多項式
• 外文名：polynomials of best uni-form approximation
• 學科：數學
• 求解方法：切比雪夫定理
• 性質：存在性；唯一性
• 領域：數值分析

基本概念

偏差

若 ， ，則稱 為 與 在[a,b]上的偏差。

註： ， 的全體組成一個集合，記作： ，它有下界0。

最小偏差

若記集合 的下確界為：

則稱 為 在 上的最小偏差。

偏差點

設 ， ，若在 上有 ，則稱 是 的偏差點。

若 ，則稱 是“正”的偏差點。

若 ，則稱 是“負”的偏差點。

註：由 在 上的連續性可知，偏差點一定存在。

交錯點組

若函式 在其定義域的某一區間 上存在 n 個點 ，使得：

則稱點集 為函式 在區間 上的一個交錯點組，點 為交錯點。

多項式

假定 ，若存在 使 則稱 是 在 上的最佳一致逼近多項式或最小偏差逼近多項式。

定理1：若 ，則總存在 ，使得

定理2：設 是區間 上的連續函式， 是 的 次最佳一致逼近多項式，則 必須同時存在正負偏差點。

定理3： 是 的最佳一致逼近多項式的充要條件是 在 上至少存在n+2個輪流為“正”、“負”的偏差點，即有n+2個，使，，這樣的點稱為Chebyshev交錯點組。

推論1：如果，則在 中存在唯一的最佳一致逼近多項式

推論2：如果 ，則其最佳一致逼近多項式就是的一個拉格朗日插值多項式。

多項式

設，在內不變號，是 的一次最佳一致逼近多項式，則a,b屬於交錯點組。

由定理可知：

至少存在3個交錯點，

,

因為是的一次最佳一致逼近多項式 ，所以

因為，所以 單調，所以在只有一個零點，記作，即

，另外的兩個偏差點就一定是a和b。

則有：

幾何意義如下圖：

例題

求函式 在區間上的最佳一致逼近多項式。

解：

，

由

得：

即：

解得：

故

所求一次最佳逼近多項式為

故

誤差限為：