星號流的奇異雙曲性研究

《星號流的奇異雙曲性研究》是依託北京交通大學，由朱聖芝擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：星號流的奇異雙曲性研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：朱聖芝
• 依託單位：北京交通大學

項目摘要

微分動力系統興起於上世紀六十年代初,是常微分方程定性理論的延伸。國外學派林立，碩果纍纍，側重研究離散系統，多採用幾何和泛函分析的方法。國內廖山濤先生則側重研究連續系統，創立了典範方程組和阻礙集的方法和學派，特別在處理向量場奇點上有深刻的獨到之處。上世紀末穩定性猜測解決之後，微分動力系統的研究重心轉移到雙曲之外的系統。對於向量場，一個典型的、高度非平凡的非雙曲現象就是周期軌道逼近奇點，甚至在擾動下持續地逼近奇點。著名的持續傳遞問題，以及目前深受關注的非雙曲有奇星號流的特徵刻畫問題，其癥結都與此相關。這類問題中奇點的特殊地位決定了無法用離散系統的方法處理，從而凸顯了倚重廖山濤方法的必要性。本項目將運用廖理論和向量場的同宿、異宿分岔理論方法，研究有奇星號流的奇異雙曲性問題。

結題摘要

微分動力系統興起於上世紀六十年代初, 是常微分方程定性理論的延伸。上世紀末結構穩定性猜測解決之後，微分動力系統的研究重心轉移到雙曲之外的系統。對於向量場，一個典型的、高度非平凡的非雙曲現象就是周期軌道逼近奇點，甚至在擾動下持續地逼近奇點。其中深受關注的有奇星號流的特徵刻畫問題，其癥結就與此相關。這類問題中奇點的特殊地位決定了無法用離散系統的方法處理。國內廖山濤先生創立了典範方程組和阻礙集的方法和學派，特別在處理向量場奇點上有深刻的獨到之處。本項目運用廖理論和向量場的同宿、異宿分岔理論方法，研究了有奇星號流的奇異雙曲性問題。主要證明了對二維流形上的星號流，其鏈回復集分解為有限個鏈分支的並。並且，當系統沒有非平凡的回覆軌道時，這些鏈分支是奇異雙曲的。對於三維的星號系統，證明了其只有有限個吸引子，並且每個含奇點的吸引子都是奇異雙曲的。對於高維的有奇星號系統，證明了不存在傾斜翻轉的同宿軌分支和Shilnikov型的同宿軌分支。這些結果對有奇星號流的特徵做了部分刻畫，有助於理解一致雙曲之外的動力系統的複雜性特徵。