旋轉法作圖

通過旋轉圖形使旋轉後的圖形與原來的圖形建立起某些聯繫，即通過圖形位置的變化，把條件不甚明顯的量之間的關係轉化為明顯的量的關係，以利於探索出證題的途徑，這種方法就叫做旋轉法。旋轉法雖然是處理幾何問題的一種重要思考方法，但是在運用旋轉法時要具體問題具體分析，要以使所證問題簡便為準則。

基本介紹

• 中文名：旋轉法作圖
• 外文名：construction by rotation
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何(尺規作圖)
• 簡介：作圖題解的一種方法

基本介紹

旋轉法作圖(construction by rotation)是作圖題解的一種方法，有些作圖題，需要將某些幾何元素或圖形繞某一定點旋轉適當角度，以使已知圖形與所求圖形發生聯繫，從而發現作圖途徑。

圖1

例如，已知三條平行線求作一個正三角形，使三個頂點分別在這三條平行線上，其思路要點是：假設△ABC是正三角形，且頂點A，B，C分別在直線a，b，c上，作AD⊥b，將△ABD繞A點逆時針旋轉60°後置於△ACD′的位置，此時，點D′可以確定，從而C點亦可確定，再作∠BAC=60°，B點又可確定，故符合條件的正三角形可以作出(如圖1)，若不考慮正△ABC的具體位置，而只考慮三個頂點分別在三條平行線上，則此題只有一解。

例題解析

【例1】已知：E是正方形ABCD的BC邊上任意一點，∠EAD的平分線AF與CD交於F，求證：DF=AE-BF。

圖2

證明：如圖2所示。

以A為中心，把△ADF旋轉90°，使∠ADF轉到△ABG的位置。

∵AD=AB，

∴AD與AB重合。

又∠D=∠ABG=90°，

顯然BG與BC在一條直線上。

∵∠GAB=∠DAF=∠FAE，

∴∠GAE=∠BAF=∠AFD=∠AGB，

∴AE=GB+BE=DF+ BE，

即DF=AE-BF。

【例2】已知：平行四邊形ABCD，分別以AB、BC為邊向平行四邊形內側作正三角形ABE和BCF。求證：△DEF是正三角形。

圖3

證明： 如圖3所示。以F為中心，把△FDC按順時針方向旋轉60°，則FC變到FB位置。

∵CD//AB且CD=AB，∠EBA=60°，

∴CD變到BE位置，FD= FE，

且 ∠DFE= 60°，

∴△DEF是正三角形。

以上旋轉都是以三角形為基礎進行旋轉的。根據具體問題，還可能以正方形或其它一些任意圖形為基礎進行旋轉；而旋轉的度數可能是90°、60° 或其它任意度數；因此，採用這種方法證題時，要具體問題具體分析。