《拓撲形變下標記圖的計數及套用》是依託廈門大學，由錢建國擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：拓撲形變下標記圖的計數及套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：錢建國
- 依託單位：廈門大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
上世紀30年代,由圖的自同構群發展出了經典的Redfield-Pólya計數理論,而三維歐氏空間中剛性立體分子的計數問題則進一步促進了該理論的完善，如Fujita的USCI理論。近幾十年來，大分子合成技術的日益成熟使各種拓撲分子被人工合成，這種分子的非剛性引起了化學家的格外關注。從數學的角度，拓撲分子可抽象為一個有標記的拓撲嵌入圖，這與小分子在歐氏空間所呈現的剛性特徵有本質的區別。本項目將研究拓撲形變意義下嵌入標記圖的計數問題，除套用價值外，理論意義在於：1.研究的內容是拓撲與經典的組合計數理論相結合的一個新課題；2.歐氏幾何體的對稱與手性是建立在剛體旋轉及鏡面反射基礎上的，而拓撲嵌入圖的對稱與手性則是空間連續形變意義下的。因此，項目的實施將對傳統的以對稱群為基礎的計數理論有所豐富和發展.
結題摘要
項目按照計畫書及調整後的研究內容實施。調整後增加了（標記）圖及鏈環著色模式的計數問題，方法上增加了對容斥計數理論的探索和套用。項目獲得了一系列較好的研究成果，基本完成了既定的研究目標，部分研究內容取得了突破性的進展。主要包括：1. 本質上改進了容斥對消理論，即：首次提出了不依賴指標序（index order）的容斥對消方法，發展了經典的組合計數容斥原理，為容斥形式的計數問題提供了更好的理論工具，具有廣泛的套用價值。2. 運用容斥對消理論對一些複雜的離散結構的計數進行估值分析，並在圖著色的計數問題上取得了較大的進展，大幅改進了 Donner 和 Thomassen 的重要結果。 3.在反映大分子圖某些結構特徵（如蛋白質鏈的摺疊程度）的 Estrada 指標的研究上取得了較好的成果，成果在發表後的三年時間裡收到了廣泛的關注，被 SCI 期刊論文引用 12 次。4. 將紐結的 Fox p-染色計數理論推廣到行列式不為 0 的多分支鏈環上，指出Fox p-染色的最佳對象是行列式不為 0 的鏈環，豐富了 Fox p-染色計數理論。5. 在其它方面如圖的列表著色、Pfaffian 定向及圖的控制集等也取得了一系列進展。項目成果為後續標記圖的計數及更一般的組合計數問題提供了良好的理論工具和思想方法。
