《拓撲場理論與鏡像對稱》是依託北京大學，由范輝軍擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：拓撲場理論與鏡像對稱
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：范輝軍
- 項目類別：面上項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
申請人的主要研究方向是辛幾何與數學物理，以及幾何分析。主要負責人在以往的工作中與人合作構造了量子奇點理論（FJRW理論），並解決了廣義的DE情形的Witten猜想。這給出了Landau-Ginzburg A模型嚴格的數學理論。另一方面，主要負責人還獨自構造了薛丁格方程的形變理論的基礎，這對應著Landau-Ginzburg B模型。在本項目中，申請人將繼續研究薛丁格方程及其形變理論。他們計畫研究相應的Frobenius流形結構，DGBV代數結構，B模型的CY/LG對應，高虧格的B理論以及與GW理論，FJRW理論之間的關係。進一步的研究還將擴展到開弦的研究。這些問題的解決將使人們更進一步的理解二維拓撲場理論和鏡像對稱。除此之外，申請人還將研究非正曲率CH流形邊界的緊化問題。這個項目的開展也將有助於我國年輕學者的培養和提升我國在這個領域方面的國際影響力。
結題摘要
本項目主要研究以下幾個方面的問題：1、奇點所對應的薛丁格運算元所引發的分析和幾何問題；2、規範線性sigma模型的數學理論的構建；3、Landau-Ginzburg模型的開弦理論構造。在1中，我們得到了標準歐氏空間中擬齊次多項式奇點所對應的形式薛丁格運算元的熱核展開理論，從而定義了Torsion不變數；我們解決了扭轉柯西-黎曼運算元的Neumann邊值問題，並在類似Witten形變下得到了初步的展開公式；我們研究了奇點理論中出現的各種配對之間的顯式同構。在2中，我們用代數幾何的方法構造了線性sigma模型在“窄”的情況下模空間的虛擬基本圈，得到了此模型的狀態空間的性質；利用分析的方法，我們對規範Witten方程進行了研究。在3中，我們對Landau-Ginzburg模型的Fukaya範疇化理論進行了研究。所有這些結果都是關於Landau-Ginzburg模型的相關理論：1是閉弦B理論；2是關於LG和卡丘模型的統一閉弦理論；3是關於LG A模型的開弦理論。這些理論在拓撲量子場理論和鏡像對稱的研究中具有重要意義，是當前辛幾何，代數幾何和數學物理研究的熱點問題。
