《張量狀態空間分解的理論及套用研究》是依託復旦大學，由張建秋擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：張量狀態空間分解的理論及套用研究
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：張建秋
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本課題旨在將張量元素存在的相互作用、變化規律、具有的各種數據格式和/或噪聲分布等先驗知識，藉助於馬爾科夫過程將它們描述成狀態方程，並將其與張量分解模型聯繫起來，從而建立起張量狀態空間分解的模型。由於這種結合問題先驗知識張量分解的新模型，是以矩陣作為隨機變數的。因此需要研究基於矩陣隨機分布的理論，來發展卡爾曼、粒子、貝葉斯和機率假設密度濾波的相關理論，以便為張量狀態空間分解的新模型提供計算手段。在此基礎上，利用張量的多維結構信息，開展與模R張量壓縮感知、模R張量數據壓縮和模R陣列處理有關的套用基礎研究；以及探索將數學對象—電磁波信號及其分量之間相互正交的幾何關係、和/或天線陣元之間的幾何結構等幾何結構先驗知識，通過數學工具—幾何代數將其結合起來，發展幾何代數張量，來探討張量模型結合幾何結構先驗知識的可能性和可行性，期待發現這些套用中新現象和總結出相應處理的新規律。
結題摘要
為了將矢量、矩陣和張量升階成張量和高階張量，以及將高階張量降階成低階張量提供了手段，我們定義了一個新的典範多元張量展開運算元，發展了張量代數理論。針對張量元素存在的相互作用、變化規律、具有的各種數據格式和/或噪聲分布等先驗知識，我們藉助於多項式預測模型，以及定義的矩陣多項式預測模型將其描述成狀態方程，並將其與張量分解模型聯繫起來，從而建立起了張量狀態空間分解的模型。當視模型中的張量和矩陣為張量和矩陣隨機變數時，就為典範多元張量的分解提出了矩陣貝葉斯濾波算法。由於給出的狀態方程本身具有狀態時間轉移特性，因此提出算法被推廣到時變張量和/或時間序列張量的分解。分析表明：在先驗信息未知的條件下，提出的時變張量和/或時間序列張量的狀態空間分解算法，其最差的性能也與經典交替最小二乘算法相當。當因子矩陣包含未知參數時，則可將給出模型中中的觀測張量及其未知參數視為張量隨機變數和隨機變數，這樣就提出了典範多元張量狀態空間分解的參數化貝葉斯濾波算法。分析也表明：提出的算法可由卡爾曼濾波、無跡卡爾曼和粒子濾波等實現。特別，當因子矩陣的參數模型互不相關時，所有因子矩陣的參數可同時估計，而不必採用傳統的交替更新方法，從而改善了算法的估計精度和收斂性能。在此基礎上，利用張量的多維結構信息，開展模R張量壓縮感知和模R陣列處理有關的套用基礎研究。給出了經典L型陣列的虛擬面陣、一種新的三維稀疏陣列、兩種新的二維最小陣列及它們相應的張量模型和處理方法，為提高陣列解析度和處理精度給出了一條新途徑。通過探索將數學對象—電磁波信號及其分量間相互正交的幾何關係、和/或天線陣元間的幾何結構等幾何結構先驗知識的極化敏感陣列，發展出了一個新概念（現象）-張量（高維）波束成形器，發現了利用張量外積來合成方位角、俯仰角和極化分量等子維度為張量波束的新規律。
