弦代數的 Gorenstein 同調性質及其奇點範疇

項目摘要

最近研究表明，弦代數的G-投射模是可刻畫的。本項目擬系統研究弦代(string algebra)的Gorenstein同調性質及其奇點範疇。弦代數是非常廣泛的一類代數，包括Nakayama代數和gentle代數，且具有良好性質。本項目擬構造弦代數的G-投射模，由此得到G-投射模穩定範疇的結構，並給出Gorenstein性的充要條件；通過與單態射範疇相結合,構造分數維Calabi-Yau範疇；同時刻畫其上分次G-投射模及其穩定範疇的結構，並找出分次G-投射模穩定範疇具有傾斜對象的子類；利用G-投射模和其他方法刻畫弦代數的奇點範疇。這些研究對進一步揭示弦代數的同調和表示論性質以及對Gorenstein同調代數都具有重要的科學意義，將在相關方向取得新成果，對弦代數乃至雙列代數提供新的獨特視野和工具。

結題摘要

本項目原計畫研究弦代數的Gorenstein(下稱G)投射模的構造、奇點範疇等, 但此問題於2015年初被中科大陳小伍及其合作者解決, 相關論文見arXiv:1501.02978和arXiv:1502.02094. 此種情況也表明原本立項的合理性和可行性, 已在2015年進展報告中提及. 於是, 不得不調整研究方向, 改為研究單態射範疇的性質及其套用, 特別是構造G投射模; G投射模範疇在穩定等價下的不變性; 加法範疇的粘合等. G投射模在G同調代數中具有重要的地位, 而G投射模穩定範疇與代數的奇點範疇關係密切. 構造給定代數上所有G投射模是非常困難的問題, 至今只對某些代數有較好結果. 而單態射範疇對於構造兩個代數的張量積上的G投射模是強有力的武器. 而單態射範疇因自身的豐富結構, 可為一些與範疇相關的問題提供例子. 本項目得到的重要結果如下: 一. 利用同調代數的方法將單態射範疇推廣到任意兩個有限維代數A和B的張量積上, 並給出當A或B為G代數時, 張量積上G投射模範疇恰好是B相對於A上G投射模範疇的單態射範疇的充要條件, 推廣了已知結果; 利用濾鏈範疇對兩個G代數的張量積上的G投射模範疇給出刻畫. 二. 設A是代數閉域上的有限維代數, N是消解A上所有node而得到的代數. 證明了N的G投射模穩定範疇可以看作是A的G投射模穩定範疇的有厚度三角子範疇; 當N是G代數時, A上的G投射模範疇即正則模A的左正交範疇; 當N的整體維數有限時, A上非投射G投射模的數目被A的node的個數以及N的整體維數所控制. 三. 定義了由雙模所誘導的單態射範疇和滿態射範疇,並研究了其基本性質, 特別是投射對象, 內射對象和單對象; 並利用所定義的單態射範疇給出了一個加法範疇粘合的非平凡的例子, 即此例子不是三角範疇粘合, 不是Abel範疇粘合, 也不是正合範疇粘合. 四. 給出了兩種從 Abel 範疇粘合得到正合範疇粘合的方法; 給出了正合範疇粘合何時是 Abel 範疇粘合的一些充分條件, 並研究了抽象 Abel 範疇粘合何時為模範疇粘合.

弦代數的 Gorenstein 同調性質及其奇點範疇

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