度量的變分與幾何流的活動標架法研究

《度量的變分與幾何流的活動標架法研究》是依託北京交通大學，由吳發恩擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：度量的變分與幾何流的活動標架法研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：吳發恩
• 依託單位：北京交通大學

項目摘要

變分是經典幾何研究的一種普遍方法。在任一黎曼流形上可考慮各種曲率張量及其模的某種組合的積分作泛函來研究其變分問題，稱之為度量的變分。大部分幾何量的計算在活動標架法下要簡潔些。申請人已成功地用活動標架法改寫一部分度量變分的公式，發現子流形幾何中變分問題是度量變分的特例。流在近幾十年幾何研究中成了強有力的新方法。由於變分問題是流的有限情形，下一步就應該用此法研究幾何流。我們已成功地將里奇流和平均曲率流用活動標架法表達，發現此法蘊含所謂烏倫貝克技巧。還證明了四維空間形式中超曲面的平均曲率流保持陳-西蒙斯不變數不變。此法所得結果能方便地處理與微分形式有關的幾何不變數。接下來自然地要研究艾密度量的變分和凱萊里奇流和其他幾何流的活動標架法表示。我們將重點研究度量變分與幾何流之間的關係，里奇孤立子的唯一性，譜在流之下的變化規律以及常全純截面曲率空間的變分刻畫等問題。

結題摘要

本項目進行度量的變分與幾何流的活動標架法研究。首先，我們得到了四維緊共形平坦流形的一個新特徵刻劃，其中我們考慮了里奇曲率與數量曲率模長平方的線性組合的積分為泛函的臨界點。此泛函與通常的泛函不同，其中線性組合的兩個係數只要不是平面上的某兩條直線的坐標即可。其次，我們得到了存在四維球面到n維球面的二階特徵映射n取值的充分必要條件。解決了停滯有十幾年之久的一個問題。最後，我們通過對正交乘積的討論以及拓撲學結果的運用，得到了七維球面到自身二階特徵映射的完全分類。這也提供了同維球面間非剛性的二階特徵映射的第一個例子。項目組的其他成員還得到了芬斯勒幾何的若干有意義的結果。