《幾類擴散過程的逼近及套用》是依託中山大學，由任佳剛擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：幾類擴散過程的逼近及套用
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：任佳剛
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目旨在研究幾類擴散過程的逼近問題及其套用,包括：1.係數屬於Holder空間的非馬氏隨機微分方程的Euler折線逼近的密度的收斂性與收斂速度的估計,並套用到利用Monte Carlo方法進行數值計算時的誤差估計和方差縮減問題.為此將研究分數次Wiener泛函及Wiener-Poisson泛函的局部化及機率密度對於泛函的連續相依關係. 2.Brown運動驅動的法向反射隨機微分方程在用光滑軌道所驅動的反射方程逼近時的收斂性及解的機率分布的支撐的刻畫，以及該刻畫在退化的二階橢圓與拋物型偏微分方程的邊界-內部極大值原理中的套用；推廣該刻畫到斜反射問題以及帶跳的隨機微分方程並套用到積分-偏微分方程的極大值原理. 3.反射隨機微分方程及多值隨機微分方程的擠壓逼近的收斂性及在解的遍歷性、不變測度的存在性、唯一性與正則性及Freidlin-Wentzell型大偏差原理等方面的套用.
結題摘要
本項目主要研究隨機微分方程的以下幾種逼近及套用：Picard疊代逼近，Euler折線逼近，擠壓逼近和Wong-Zakai逼近。證明了隨機微分方程的Picard疊代的C^\infty收斂性，證明了多值隨機微分方程和反射隨機微分方程的Euler折線逼近的收斂性，證明了反射隨機微分方程的擠壓逼近的收斂性並套用到偏微分方程的Neumann問題的機率表示，得到了反射隨機微分方程的近似連續性並由此刻畫了其解的機率分布的支集，證明了隨機系統同步化的收斂性，得到了多值隨機微分方程的隨機Theta方法的收斂速度，並用粘性解方法證明了多值隨機微分方程的大偏差原理，證明了非Lipschitz係數的隨機變分不等式的Euler折線逼近的收斂性。 此外我們注意到國際上新近發展起來了一套針對帶跳的隨機微分方程的Malliavin Calculus的借粒子方法，和其他已有方法相比，這一方法具有巨大的靈活性，並且通過構造標註Poisson測度，建立了構型空間上的微分運算，從而克服了之前由於差分運算元不滿足鏈導法則帶來的極大不便。我們在這方面做了初步的嘗試，建立了帶跳的隨機微分方程的導數公式，證明了一類具有特殊形式的帶跳的隨機微分方程的密度在存在性。這一良好的開頭為後續研究開闢了新的領域。
