設E為R上的三維賦范向量空間，p為N∪{+∞}的元素。若存在從D2到D1上的C-微分同胚ᵠ， 使得f2=f1°ᵠ， 則由偶((D1， f1)，(D2，f2))定義的Cp-類參數葉間的二元關係是等價關係。每個等價類都叫C類的幾何葉。
基本介紹
- 中文名：幾何葉
- 領域：數學
- 空間：賦范向量空間
- 關係：微分同胚
- 學科：線性代數
概念,向量空間,微分同胚,
概念
設E為R上的三維賦范向量空間，p為N∪{+∞}的元素。若存在從D2到D1上的C-微分同胚ᵠ， 使得f2=f1°ᵠ， 則由偶((D1， f1)，(D2，f2))定義的Cp-類參數葉間的二元關係是等價關係。 參數葉(D1，f1)與(D2，f2)稱為是Cp-等價的。也說(D2，f2)可通過改變參數ᵠ由(D1， f1)導出。每個等價類都叫C類的幾何葉。
向量空間
向量空間亦稱向量空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：
1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。
2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。
3.加法與純量乘法滿足以下條件：
1) α+β=β+α，對任意α，β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.
3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.
4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.
5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).
6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當P是實數域時，V稱為實線性空間.當P是複數域時，V稱為複線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合Mmn(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則Mmn(P)是數域P上的線性空間.V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a1，a2，…，an)構成的集合P對於加法：(a1，a2，…，an)+(b1，b2，…，bn)=(a1+b1，a2+b2，…，an+bn)與純量乘法：λ(a1，a2，…，an)=(λa1，λa2，…，λan)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。
線性空間是在考察了大量的數學對象(如幾何學與物理學中的向量，代數學中的n元向量、矩陣、多項式，分析學中的函式等)的本質屬性後抽象出來的數學概念，近代數學中不少的研究對象，如賦范線性空間、模等都與線性空間有著密切的關係。它的理論與方法已經滲透到自然科學、工程技術的許多領域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進向量一詞，並開創了向量理論和向量計算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統理論。1844—1847年，他與柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脫離一切空間直觀的、成為一個純粹數學概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線性代數的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。
微分同胚
微分同胚是微分流形之間的一類同胚映射。它與它的逆映射都是可微的。設M，N均為微分流形，對於映射f：M→N，若f是同胚映射，並且f，f都是C可微映射，則稱f為M到N上的C微分同胚。C微分同胚f：M→N簡稱M到N上的微分同胚.對於微分流形M，N，若存在(C)微分同胚f：M→N，則稱M與N是(C)微分同胚的微分流形，記為MN。“”是微分拓撲學中的基本等價關係。微分拓撲的基本任務是研究微分流形在微分同胚下保持不變的性質，以及尋求在怎樣的條件下兩個微分流形是微分同胚的。米爾諾(Milnor，J.W.)於1956年證明，在S上至少存在兩個不微分同胚的微分構造.後來證實，S上恰好有15個這樣的不同的微分構造。
