幾何學概論（第2版）

《幾何學概論（第2版）》是清華大學出版社2020年出版圖書，作者羅淼、嚴虹、廖義琴

基本介紹

• 中文名：幾何學概論（第2版）
• 作者：羅淼、嚴虹、廖義琴
• 出版社：清華大學出版社
• ISBN：9787302569749 

內容簡介

本書是順應高等師範院校數學教育專業幾何課程改革和中學數學教育改革的要求，以及高校師範認證的背景編寫而成。全書分為四個部分，其中第一部分的作用使學生了解幾何學發展簡史和非歐幾何的幾種經典模型；第二部分主要講解歐氏幾何與二次曲線的度量性質及分類，古典微分幾何知識的介紹；第三部分主要包括仿射坐標系、仿射平面與仿射變換，從仿射平面到射影平面，射影坐標系、射影平面與射影變換，二次曲線的性質與分類，使得學生理解和掌握仿射幾何和射影幾何的基本內容；第四部分主要介紹“大學幾何” 對“中學幾何”的指導意義以及“大學幾何”方法在“中學幾何”中的套用，讓讀者通過本部份的學習為中學幾何教學更好的服務。 本書既可作為高等師範院校本科數學教育、數學與套用數學等專業的幾何教材，可供在職中學數學教師作為參考讀本，也可作為數學愛好者，特別是幾何愛好者讀本。

目錄

第一部分幾何學發展概述

第1章幾何學發展簡史

1歐幾里得與《原本》

1.1《原本》產生的歷史背景

1.2《原本》的結構與內容

1.3《原本》的優缺點

1.4《原本》對我國數學的影響

2解析幾何的誕生

2.1笛卡兒和費馬在創立解析幾何中的貢獻

2.2解析幾何的發展

2.3解析幾何的重要性

3從透視學到射影幾何

3.1射影幾何的由來

3.2射影幾何的發展

3.3平面射影幾何公理體系

4非歐幾何的產生與非歐幾何公理體系

4.1非歐幾何的產生背景

4.2非歐幾何的形成

4.3非歐幾何的發展與確認

5幾何學的統一與公理化思想

5.1幾何學的統一

5.2幾種幾何學的比較

5.3公理化思想方法

6幾何學的近現代發展簡介

6.1微分幾何

6.2拓撲學

練習1

第2章非歐幾何的幾種典型模型

1銳角假設與羅氏幾何

1.1銳角假設與雙曲幾何

1.2雙曲幾何的代表——羅氏幾何簡介

1.3真理性討論

2鈍角假設與球面幾何

2.1鈍角假設與橢圓幾何

2.2橢圓幾何的代表——球面幾何簡介

3非歐幾何的實現模型

3.1克萊因模型

3.2龐加萊模型

練習2

第二部分歐氏幾何與微分幾何

第3章歐氏幾何、二次曲線的度量性質與分類

1直角坐標系、歐氏平面、變換群與等距變換

1.1直角坐標系與歐氏平面

1.2變換群

1.3等距變...

2二次曲線的度量性質

2.1歐氏平面上二次曲線的定義及基本概念

2.2二次曲線與直線的相關位置

2.3二次曲線的漸近方向、中心及漸近線

2.4二次曲線的切線

2.5二次曲線的直徑

2.6二次曲線的主直徑與主方向

3利用平面直角坐標變換化簡二次曲線的方程與分類

3.1平面直角坐標變換

3.2利用平面直角坐標變換化簡二次曲線的方程與分類

練習3

第4章古典微分幾何初步

1向量函式

1.1向量函式的定義及其相關概念

1.2兩個特殊向量函式與旋轉速度

2曲線論

2.1曲線的相關概念

2.2空間曲線的密切平面與基本三棱形

2.3空間曲線的曲率、繞率和弗雷內公式

2.4空間曲線論基本定理

3曲面論

3.1曲面的相關概念

3.2曲面的三種基本形式

3.3曲面的一些曲率與曲面上的一些曲線

3.4曲面三個基本形式之間的關係

3.5曲面論基本定理問題的引出

練習4

第三部分仿射幾何與射影幾何

第5章仿射坐標系、仿射平面與仿射變換

1仿射坐標系與仿射平面

1.1平行射影

1.2仿射坐標系與仿射平面

2仿射變換的相關問題

2.1仿射變換的代數表達式

2.2關於仿射變換的確定及其重要定理

2.3仿射平面上直線的幾個常用結論

2.4幾種重要的仿射變換

2.5仿射性質

練習5

第6章從仿射平面到射影平面

1擴大的仿射平面

1.1中心射影和無窮遠元素

1.2射影直線和射影平面以及它們的性質

1.3射影平面的拓撲模型

1.4圖形的射影性質

2齊次仿射坐標

2.1點的齊次仿射坐標

2.2直線的齊次仿射坐標方程

2.3齊次仿射線坐標

3德薩格定理與平面對偶原理

3.1德薩格定理

3.2平面對偶原理

4交比與調和共軛

4.1點列中四點的交比

4.2線束中4條直線的交比

練習6

第7章射影坐標系與射影變換

1射影坐標系

1.1直線上的射影坐標系

1.2平面上的射影坐標系

2射影變換

2.1透視對應及其相關概念

2.2射影變換

3射影對應(變換)的代數表達式和帕普斯定理

3.1一維射影對應(變換)的代數表達式

3.2二維射影對應(變換)的代數表達式

3.3帕普斯定理

4變換群與幾何學的關係

4.1平面上的幾個重要變換群

4.2歐氏幾何與歐氏群

4.3克萊因變換群觀點簡介

4.4射影幾何、仿射幾何和歐氏幾何間的比較

練習7

第8章二次曲線的射影性質、仿射性質與相應分類

1二次曲線的射影性質

1.1二階曲線與二級曲線的定義

1.2二次曲線的射影定義

1.3二階曲線與二級曲線的關係

1.4帕斯卡和布利安桑定理

1.5二階曲線的極點與極線

1.6配極原則與配極對應

2二次曲線的射影分類

2.1二階曲線的奇異點

2.2二次曲線的射影分類

3二次曲線的仿射性質

3.1二次曲線與無窮遠直線的相關位置

3.2二次曲線的中心

3.3二次曲線的直徑與共軛直徑

3.4二次曲線的漸近線

4二次曲線的仿射分類

練習8

第四部分“大學幾何”與“中學幾何”

第9章“大學幾何”對“中學幾何”的指導意義

1中學幾何的研究內容及方法

1.1幾何學的研究對象及分類

1.2中學幾何的主要研究內容

1.3中學幾何的基本研究方法

2“大學幾何”與“中學幾何”的聯繫

3“大學幾何”對“中學幾何”教學的指導意義

3.1高等師範院校數學教學改革中幾何課程改革的重要性與必要性

3.2用現代數學的觀點看待“中學幾何”

練習9

第10章“大學幾何”方法在“中學幾何”中的套用

1“向量法”與“坐標法”在中學幾何中的套用

1.1用向量法證明共點(或共線)問題

1.2用向量法證明垂直（或平行）問題

1.3有關夾角或距離問題的例子

1.4有關面積、體積問題的例子

2仿射及射影幾何方法在中學幾何中的套用

2.1仿射方法在中學幾何中的套用

2.2射影方法在中學幾何中的套用

練習10

習題參考答案與提示

參考文獻