《層topos中的拓撲結構與序結構》是依託南京師範大學，由賀偉擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：層topos中的拓撲結構與序結構
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：賀偉
- 依託單位：南京師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
層Topos包括定義在一個拓撲空間（一般地一個locale）上的層範疇或者定義在一個Grothendieck拓撲上的層範疇。層topos既可以看做一個廣義集合範疇或直覺邏輯的語義模型來研究其內蘊的數學結構同時與拓撲和代數幾何密切相關。本項目研究主要包括：層topos中的內蘊locale的拓撲性質，例如Stone-Cech緊化的構造問題、內蘊局部緊locale的刻畫問題等；利用子終層集的生成性，合理引入廣義點的概念，從點集的角度研究內蘊空間式locale的拓撲性質，例如分離性、收斂性質等；利用廣義點的構造研究層topos中的序結構理論，例如偏序層、完備偏序層、Frame層並且比較它們與相應內蘊對象之間的關係；通過誘導幾何態射研究不同locale上層topos之間的拓撲性質和序結構的保持和反射性。項目的開展將解決層topos中的拓撲結構和序結構的一些公開問題並為後續研究開闢一條新途徑。
結題摘要
本項目研究層topos中的拓撲結構與序結構。項目執行期間，項目組成員在層topos中的拓撲結構和序結構、拓撲群範疇的拓撲性質和代數性質等方面取得一系列有意義的重要成果，具體介紹如下： 1.我們在任意locale型topos中定義了“點”的概念，任意locale型topos中的全體“點”構成了一個生成集。利用“點”式處理方法，我們給出了偏序層的完備性和定向完備性的刻畫以及Frame層的刻畫。我們給出了關聯層locale的明確刻畫，並利用該刻畫給出了locale X上的層範疇與X上的切片範疇等價的一個新的直接證明。我們給出了連續偏序層的完全刻畫，並且證明了任意代數的完全分配偏序層是內蘊空間式的。 2.在拓撲群範疇研究中，證明了不可度量化的緊的拓撲群具有第一可數剩餘，該結果回答了Arhangel’skii’提出的一個公開問題。系統研究了仿拓撲群和半拓撲群的剩餘和基數不變數之間的關係，改進和推廣了A.V. Arhangel'skii和C. Liu的相關結果。研究了具有局部廣義度量化性質的剩餘的仿拓撲群和半拓撲群的性質，改進和推廣了A.V. Arhangel'skii的相關結果。 3. 引入了鄰域系統的概念。證明了鄰域系統範疇包含了拓撲空間範疇、locale範疇以及拓撲系統範疇，從而提供了一個可以同時處理拓撲空間、locale和拓撲系統的新平台。給出了locale半正則化的構造，半正則化成為函子的充分條件以及成為反射和余反射的充分條件。 4. 我們研究了直覺模糊等價關係的序結構，證明了直覺模糊等價關係可以套用到聚類分析。
