《局部 Gromov-Witten 不變數和鏡像對稱》是依託北京大學，由郭帥擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：局部 Gromov-Witten 不變數和鏡像對稱
- 依託單位：北京大學
- 項目負責人：郭帥
- 項目類別：青年科學基金項目
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
隨著物理學中超弦理論和M理論的不斷發展，鏡像對稱成為近20年來最熱門的前沿課題之一。本項目將主要研究開Calabi-Yau三維流形的所有虧格的鏡像對稱。.眾所周知，對於緊緻三流形，高虧格不變數的計算多年來舉步維艱，高虧格鏡像對稱的數學理論也一直未能建立。相對來說，開三流形在近十年來有了較大進展：對於A模型即Gromov-Witten不變數，已經建立起系統的理論；對於B模型，也發展出多個高虧格的物理模型。然而，這些模型大多缺乏嚴格的數學理論，也容易陷入極其複雜的遞歸或者組合計算，無法直接讀取出各種不變數的閉公式。此外，各種模型之間的對偶性，大多也並不清楚。.本項目的主要目標，是通過對幾個例子的深入分析，結合本人已有的一些成果，建立起一套新的場論及相關的計算工具。作為一個重要套用，希望得到一種數學上清晰且能夠直接計算的局部B模型場理論，並最終建立起相應的所有虧格的局部鏡像對稱。
結題摘要
經典的鏡像對稱，描述了一個CY三維流形的Kahler結構的模空間和其鏡像流形的復結構的模空間之間的對應。但是這種對應，實際上是一種局部的對應，他們存在於大Kahler結構極限點的鄰域和大復結構極限點的鄰域之間。由Witten的思想啟發，范輝軍-Jarvis-阮勇斌近些年通過量子奇點理論構造了一種新的計數不變數，目前被稱之為Fan-Jarvis-Ruan-Witten不變數。這些不變數給出了模空間上另一個極限點——orbifold點附近的理論。在這些極限點，物理學家猜想也存在對應的LG鏡像定理。更進一步，物理學家提出如下的Landau-Ginzburg/Calabi-Yau對應猜想。它聲稱對於五次超曲面的GW理論，其信息可以完全由相應的奇點理論(FJRW理論)來重構。和GW理論中計數不變數是數靶空間上的曲線條數不同，FJRW理論某種意義上是數Witten方程的解得個數(包含自同構的信息)。因此他們之間的聯繫是相當非平凡的。 2016年，本人和Dustin Ross合作，完成了虧格1的LG鏡像定理的證明，該結果(arXiv:1611.08876)已被歐洲數學會的新代數幾何雜誌Algebraic Geometry接收。這個工作也是後面我們用MSP理論來解決BCOV猜想的一個起點之一。 2017年，通過進一步對量子化公式的結構進行分析，結合Zinger的鏡像定理，本人完成了虧格1的LG/CY猜想的證明(arXiv:1703.06955)，這是自Chiodo-阮勇斌2010年Inventiones文章證明虧格0的LG/CY猜想之後的第一個高虧格的進展，也是第一個實現了非半單上同調場論的高虧格LG/CY對應的例子。 最後，一個值得提及的其他成果是，2017年，候選人和張懷良-李衛平-周杰合作，通過MSP理論給了Zinger的虧格1的鏡像定理的一個新的證明(arXiv:1711.10118)，作為MSP理論有效性的一個檢驗，該結果已被IMRN接收。
