尼科梅徹斯定理

簡介

任何一個整數的立方都可以寫成一串相鄰奇數之和(因為如果不是一串相鄰的奇數，這個奇數組合可能會有多個)，這就是著名的尼科梅徹斯定理。

例子

例如：1的三次方=1 ； 2的三次方=3+5 ; 3的三次方=7+9+11; 4的三次方=13+15+17+19;

開始的數是 n*n-n+1

用pascal證明如下:

program nkmcsdl;

var i,n,j:integer;

begin

{首先輸入內容}

readln(n);

{存儲已經輸出的數的個數，為了控制是否輸出+}

j:=0;

{最小一個為n^2-n+1}

i:=n*n - n + 1;

{下面開始輸出內容}

while j<n do

begin

if j>0 then write('+');

write(i);

i:=i+2;

j:=j+1;

end;

writeln('=',n*n*n);

end.

用數學方法證明尼科梅徹斯定理。

證明之前，我們先看連續p個奇數的和有什麼特點:

(1)假設p為偶數，這些連續p個奇數中間兩項的數為2k-1，2k+1 ，則這組數的平均數定是2k，總和為2k*p ，如果p^2=2k,那么和為p^3

(2)假設p為奇數，這些連續p個奇數中間一項的數為2k+1 ，則這組數的平均數定是2k+1，總和為(2k+1)*p, 如果p^2=2k+1,那么和為p^3

我們再看，n^3 等於 n*n^2 ,即 n個n^2的和。

（1）假設n為偶數，把n^2定為一串連續奇數的中間兩項的平均數，寫出這中間兩項，分別為n^2-1 ,和n^2+1 ，如果向這兩個奇數的兩邊分別排（n-2）/2項連續的奇數，則加上中間那兩項，這組奇數總共（n-2）/2*2+2=n項，這組連續奇數的總和為n*n^2=n^3,得證（可參照上面的偶數項連續奇數的特點）

比如4^3=13+15+17+19

4^3可以看成4*4^2=4*16,把16定成一串奇數的中間兩項數的平均數，則中間兩項分別是15，17 ，然後只需向這兩個數的兩旁排上剩餘（4-2=2）項連續的奇數13和19即可。

（2）假設n為奇數，則n^2必是奇數，把n^2定為一串連續奇數的中間一項奇數，如果向這個奇數的兩邊分別排（n-1）/2項連續的奇數，則加上中間那兩項，這組奇數總共（n-1）/2*2+1=n項，這組連續奇數的總和為n*n^2=n^3,得證（可參照上面的奇數項連續奇數的特點）

比如5^3=21+23+25+27+29

5^3可以看成5*5^2=5*25,把25定成一串奇數的中間一項奇數，然後只需向這個數的兩旁排上剩餘（5-1=4）項連續的奇數21，23，和27，29即可。

尼科梅徹斯定理

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