大型稀疏非對稱線性方程組的歸納降維算法研究

《大型稀疏非對稱線性方程組的歸納降維算法研究》是依託大連理工大學,由杜磊擔任醒目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：大型稀疏非對稱線性方程組的歸納降維算法研究
• 依託單位：大連理工大學
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：杜磊

項目摘要

歸納降維法是一類求解非對稱線性方程組的疊代法，其代表性算法為IDR(s)。相比於大多乘積型Krylov子空間法，歸納降維法更具競爭性，且s＞1時IDR(s)計算性能優於穩定雙共軛梯度法(BiCGSTAB)。近年，儘管歸納降維法已被廣泛關注，無論在算法設計還是理論分析方面都取得不少研究成果，但是針對不同類型的線性方程組仍有許多問題有待進一步的研究。在本項目中，我們擬針對單右端、多右端及多右端位移線性方程組研究歸納降維算法。我們將研究廣義歸納降維定理和影子向量的選取，給出求解單右端線性方程組的改良歸納降維算法。我們擬將塊Krylov子空間法的技術和已發展的歸納降維算法推廣，並討論單雙精度混合運算技術，構造求解多右端線性方程組的高效塊歸納降維算法。我們還將研究塊Sonneveld空間的位移不變性和殘量矩陣共線性，設計種子方程切換策略，構造求解多右端位移線性方程組的高效位移塊歸納降維算法。

結題摘要

構造解大型稀疏線性方程組的快速高效算法在科學與工程計算中許多領域十分重要。數值算法通常可分為直接法和疊代法兩類。直接法具有計算過程穩定、運算量可測、計算精度高等優點，但也存在運算量和存儲開銷大等問題。疊代法的優缺點則與直接法互反。結合係數矩陣的結構特點進而構造直接法或疊代法算法對問題求解至關重要。項目執行過程中，我們研究了係數矩陣帶有位移結構的線性方程組的疊代解法，以及係數矩陣為擬三對角結構的線性方程組的直接法，同時也考慮了將解線性方程組的Krylov子空間法推廣求解矩陣方程。矩陣特徵值計算問題是科學與工程計算中遇到的另一重要研究課題。圍道積分法是近些年備受關注的特徵值算法之一。圍道積分法計算過程需要多次解帶位移結構及多右端項的線性方程組，由於線性方程組求解在整個計算過程占的時間開銷比重最大，圍道積分法能否有效解特徵值問題的關鍵因素之一便是能否高效解這些線性方程組。因此，項目進行過程中，我們除了研究線性方程組的數值解法，還對計算特徵值問題的圍道積分法進行了研究和分析。