大型稀疏不定最小二乘問題的預處理及高效算法研究

《大型稀疏不定最小二乘問題的預處理及高效算法研究》是依託上海大學，由劉巧華擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：大型稀疏不定最小二乘問題的預處理及高效算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉巧華
• 依託單位：上海大學

中文摘要

本項目將系統研究大型稀疏不定最小二乘問題的預處理及高效算法。一方面提出比現有CGILS,ILSQR算法收斂性質更好的Krylov子空間算法，並通過A的不完全矩陣分解和近似加權廣義逆兩種途徑研究不定最小二乘問題的預處理，以期高效加速疊代的收斂速度。另一方面通過分析ILSQR算法的捨入誤差，制定適合ILSQR算法的全部或部分重新正交化策略，改善ILSQR的收斂速度。同時，本項目還將構造求解不定最小二乘問題的分塊SOR疊代算法，分析分塊SOR算法與CGILS算法的聯繫和區別。本項目的研究成果將大大豐富和完善大型稀疏不定最小二乘問題的算法，並有效促進這一模型在科學與工程計算領域的套用。

結題摘要

本項目主要研究稀疏不定最小二乘問題(ILS問題) min(b-Ax)^TJ(b-Ax), 其中J=diag(I_p,-I_q)為符號矩陣. 這一問題在數據含誤差的模型、加權總體最小二乘問題、 參數估計模型中都有很強的套用背景。雖然文獻中已有不少穩定的直接算法，但這些算法對大規模稀疏問題會增加存儲量和計算量。構造高效的疊代算法和預處理子是非常有意義的研究課題。本項目組成員通過探索，得到解決不定最小二乘問題的以鬆弛疊代法為基礎的分裂疊代算法，並給出了最佳鬆弛因子； 同時為了加速解ILS問題的Krylov子空間算法，本項目組給出了兩種預處理方案，該方案能有效加速對應的Krylov子空間算法的疊代速度， 整體運行效率也被證明是高效的, 特別是對病態的ILS問題。同時，本項目組還得到了解幾類線性(四元數)矩陣方程組的算法， 並探討了一類非線性矩陣方程組Hermitian正定解存在的充要條件。