多維空間主成分分析法

基於多維空間主成分分析的圖像降噪方法是近年來出現的一種基於機器學習的降噪技術。由於圖像的主成分在原空間中往往是分散的，因而通過使用非線性變換將圖像映射到高維的特徵空間中，在特徵空間中提取線性主成分的效果明顯優於主成分分析提取圖像的線性主成分。而通過使用多維空間算法，在高維空間中主成分提取的計算只需要通過在圖像的原空間中進行點積運算來實現，卻不需要知道非線性映射的具體形式。

基本介紹

• 中文名：多維空間主成分分析法
• 外文名：Multidimensional space principal component analysis
• 屬於：圖像降噪方法
• 原理：基於機器學習的降噪技術
• 優點：不需要知道非線性映射的具體形式
• 方法：在圖像的原空間中進行點積運算

圖像降噪方法概要

圖像去噪算法從不同處理域的角度，可以劃分為空域和頻域兩種處理方法。前者是在圖像本身所在的二維空間內對其進行處理，空域處理算法根據不同的性質又可以分為線性濾波算法和非線性濾波算法。而頻域處理方法則是用一組正交函式系來逼近原始信號函式，並確定相應的係數，從而將對原始信號的分析轉化到了係數空間域，即頻域中進行。

空間域的線性濾波算法的理論發展較為成熟，其優點是數字分析簡單，對濾除與信號不相關的隨機噪聲效果顯著，但是它本身也存在著明顯的缺陷，如需要隨機噪聲的先驗統計知識，對圖像邊緣細節保護能力較差等。而與線性濾波相對應的非線性濾波大都考慮到了人的視覺標準和最佳濾波準則，提高了圖像解析度和邊緣保護能力，特別是一些改進後的非線性濾波方法一般都具有了一定的自適應性，這就使得非線性濾波的功能更為強大，可以廣泛地套用到醫學、遙感等領域的圖像處理中。1971年，Turkey提出了中值濾波的思想，並首先套用於時間序列的分析中，後來這種方法被引入到函像處理中，用來濾除圖像的噪聲，收到了良好的效果。隨之而來的是各種中值濾波的改進方案。數學形態學和統計學的引入為數字濾波技術開闢了新的途徑。

通過對機器視覺研究的不斷深入，人們開始重視偏微分方程的數學理論，在這個領域的實質性開創工作應該歸功於和各自獨立的工作，他們在圖像中引入了尺度空間嚴格的理論，使之成為偏微分方程在數字圖像處理學套用的基礎。而在偏微分方程理論套用於數位訊號非線性濾波領域中最有影響的人物是Witkin。他提出了一種具有非線性濾波能力的偏微分方程，在圖像去噪和邊緣保護上獲得了良好的效果。後來基於他的理論將這種方程發展成為各向異性擴散方程，進一步提升了去噪能力，並且具有中值濾波、數學形態學濾波以及很多傳統算法不具備的圖像邊緣保護功效。因此這些方法在不久以後被廣泛的套用於醫學、遙感圖像的濾波去噪處理中，獲得了令人滿意的結果。

基於頻域的數字濾波方法最早可以追溯到傅立葉變換的使用。1822年法國數學家在研究熱傳導理論時提出並證明了將周期函式展開為正弦級數的原理，奠定了傅立葉變換的理論基礎。1946年在傅立葉變換的基礎上提出了一種加窗傅立葉變換也稱為短時傅立葉變換，通過特定的平移窗函式來分解信號的頻譜，提取出它的局部信息，提高時間分辨能力。這種思想為後來的小波多尺度分析信號思想的引入起到了啟發作用。1986年著名數學家Mayer和Mallet合作建立了構造小波函式的統一方法——多尺度分析，從此小波分析開始廣泛地套用於信號分析領域並得到了蓬勃發展。近年來，小波分析已經深入到了非線性逼近、統計信號處理、圖像去噪等領域，其特殊的時頻分辨能力已經使它基本取代了昔日傳統頻域分析方法。

多維空間主成分分析法

基於多維空間主成分分析的圖像降噪方法是近年來出現的一種基於機器學習的降噪技術。由於圖像的主成分在原空間中往往是分散的，因而通過使用非線性變換將圖像映射到高維的特徵空間中，在特徵空間中提取線性主成分的效果明顯優於主成分分析提取圖像的線性主成分。而通過使用多維空間算法，在高維空間中主成分提取的計算只需要通過在圖像的原空間中進行點積運算來實現，卻不需要知道非線性映射的具體形式。但是，由於非線性的映射的具體形式一般不知道，而且從高維特徵空間到原空間的逆映射也是不可能存在的，所以，利用在特徵空間提取的非線性主成分去在原空間中重構降噪圖像的問題的精確解是不存在的，因而使用多維空間主成分分析對圖像進行降噪處理的問題的關鍵就在這裡，即在原空間中尋找在特徵空間中的降噪模型的原像。

多維空間主成分分析在圖像去噪中的套用

當前，己經出現了幾種在原空間中尋找原像或近似原像的方法。1999年Mika等人採用梯度下降法來尋找原像，但由於所面臨的往往是複雜的非線性最佳化問題，該方法容易陷入局部最優解。2004年Bakir等人提出利用多維空間嶺回歸來尋找近似原像，該方法把尋找原像的過程看作是從特徵空間向原空間的一個映射，但該方法要求訓練樣本有一個很好的分別。與此同時，Kwok等提出基於多尺度分析的距離約束算法尋找原像，該方法首先在特徵空間匯總選取去噪後模式的若干最近鄰訓練樣本點，並假設在特徵空間和原空間中去噪後模式與近鄰點之間有相同的距離保持關係，然後在原空間中確定近似原像。2005年，Kim等人提出利用算法去改進基本的算法，從而使得改進後的模型能夠套用於大規模複雜的圖像去噪問題中。2006年，Zheng等人提出結合弱監督先驗信息尋找原像的方法，該方法尋找原像的若干最近鄰正類和負類樣本，在原來最佳化目標的基礎上，增加了儘量接近正類介而遠離負類這樣兩個約束，從而改善了梯度下降法尋找原像的效果。2007年，Pablo等人提出結合外樣本問題利用延拓方法來求解在原像，該方法更好的考慮了在特徵空間中樣本的正則化問題，因而在一定程度上提高了求解原像的準確度。2008年，Nicolas等人提出了一種基於幾何解釋的對求解原像的正則化方法，在此正則化方法基礎上，算法的結果都得到了一定的改善。此外，2009年Richard等提出了直接法求解在原空間的尋找原像的問題，該方法在利用了在原空間與特徵空間的內積相等的基礎上，並增加了正則化的懲罰約束，直接求解非線性映射的形式，該方法具有相對的數值穩定性，並且由於利用內積關係，因而相對於距離約束降低了計算複雜度。