《多維可壓縮歐拉方程的自相似解》是依託首都師範大學，由李傑權擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：多維可壓縮歐拉方程的自相似解
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李傑權
- 依託單位：首都師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究多維可壓縮歐拉方程以及相關數學模型自相似解的數學理論以及它們所刻畫的各種非線性現象。兩維黎曼問題中波的相互作用是我們研究的首要目標, 此相互作用中涉及混合型方程(組)的求解，以及從壓縮波中產生激波等主要困難。最典型的情況是簡單波相互作用產生的跨音速衝擊波、激波反射（正規或馬赫反射）和多個接觸間斷相互作用形成的渦流。除了為了處理角點和相互作用點附近解的性質而使用包含有奇點的Sobolev空間函式論的方法外，還將使用數值模擬，漸進分析和廣義特徵分析方法。
結題摘要
圍繞多維歐拉方程的自相似解開展工作，取得了一些進展，比較滿意地完成了項目申請時的既定目標。在人才培養和學術交流方面也作了一些工作。（1）歐拉方程組的兩維黎曼問題。 以可壓縮歐拉方程的兩維黎曼問題為出發點，研究了平面稀疏波的相互作用，構造了雙對稱的平面稀疏波的相互作用而產生的整體分片光滑解， 這是第一次給出一類兩維黎曼問題的整體解；發展了直接的特徵分解方法，為了進一步研究跨音流問題提供了理論鋪墊；證明了一類非經典半雙曲問題解的存在性和正則性，得出了解在音速線附近的一致Holder估計；用自適應的GRP格式非常仔細模擬了兩維黎曼解中每種可能的情況，給出了較以往更為完整的結果。（2）廣義黎曼問題(GRP)格式。本項目在以往研究的基礎上，繼續發展廣義黎曼問題(GRP)格式，把時空二階的廣義黎曼解子器和自適應移動格線技術相結合，發展了自適應GRP格式；同時把標準的（GRP solver）廣義黎曼解子器和現在廣泛使用的GKS方法相比較，證明了廣義黎曼問題解子器的健壯性（robustness）和高解析度，為很好模擬兩維黎曼問題提供了支撐。（3）守恆性數值格式局部震盪分析。仔細分析了不同Fourier模式的波引起數值震盪的機理，發現了通常的人工粘性不足以抑制高頻波引起的局部數值震盪。通過對高頻震盪模式的修正方程研究，發現數值阻尼對抑制高頻震盪是至關重要的，並證明了傳統的單調格式不會放大高頻模式。（4） 相場方程的分析。用變數分離方法，構造了相場中一類Oldroyd-B 模型的顯示解，利用之可以研究解的爆破現象；另外用粘性消失法證明了耦合的 Navier–Stokes/Allen-Cahn解的局部存在性。在基金項目的資助下，發表SCI論文8篇，一篇一般學術論文， 待發表3篇。在學術交流方面，參加了一系列學術會議，訪問了三所國外大學，邀請了多名國外同行來合作研究。在人才培養培養了博士生兩名，碩士生1名。
