《多元運算元論中的若干基本問題》是依託復旦大學，由王凱擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：多元運算元論中的若干基本問題
- 依託單位：復旦大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：王凱
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
多元運算元理論是現代運算元論中一個迅猛發展的方向。Douglas、Arveson等人所介紹的Hilbert模是研究多元運算元理論的自然框架，由此引入的代數、拓撲、幾何等學科的思想方法為多元運算元論的發展提供了新的視角和動力。其倡導開展的與解析子簇密切相關的Hilbert子模與商模的研究為運算元理論運算元代數與交換代數、代數幾何及復幾何等其他數學分支的相互交融建立起了新的橋樑。我們擬將研究Arveson和 Douglas 提出的高維區域上Hilbert 模本質正規性的猜想。同時計算商模上的K-同調，給出對應指標公式的具體實現，探索本質譜所確定的代數簇、射影零簇基本類之間的關係。另一方面，尋求Hilbert零點定理的對應版本，研究多項式生成子模的結構問題，建立其與底空間零簇的對應關係。此外，我們也將發展諸如纖維維數、Samuel重數等交換代數不變數的抽象理論，研究它們在經典泛函分析問題中的套用。
結題摘要
本項目主要研究多元運算元論Hilbert模領域的一些重要問題。近半個世紀以來，著名數學家 R.Douglas、W.Arveson倡導的多元運算元Hilbert 模綱領為運算元理論的發展注入強勁動力，為多元運算元譜理論及不變子空間等問題的研究開闢了廣闊視野。我們研究了多元運算元Hilbert 模核心問題Arveson-Douglas猜測，並利用所引入的代數、幾何的新思想方法研究了許多經典問題，取得了一些重要進展。我們的主要成果總結如下：1.研究了子模有限和的問題，證明了和是閉的若且唯若對應運算元的譜集中0是孤立點，由此給出了許多本質正規性子模的例子和特徵;研究了有界對稱域rank 1零簇的性質，提出了一類新型的sub Hilbert模，證明了對應的商模是有本質正規性的，並利用Boutet de monvel等人的流形上Toeplitz運算元分析，給出了對應的指標公式，顯示了相應零簇的幾何信息；證明了在區域維數d不超過3的Arveson空間中擬齊次多項式情形的運算元不等式，這也蘊含了在維數不超過3的一般擬齊次多項式子模都是本質正規的；對Bergman空間上子模投影運算元，刻畫了其可表示為乘法運算元組和的形式時子模的具體形式。2. 利用多元運算元論引入的新思想和新技術，定義了Cowen-Douglas運算元的一族高階曲率，並證明對於壓縮運算元其高階曲率也受單位圓上Szego核控制,更進一步的，證明了對於一類有重要意義的Cowen-Douglas運算元高階曲率不等式蘊含了運算元的壓縮性; 結合函式空間和運算元理論的知識，完全解決了Curto 和Yoon 等人提出的計算S(a,b,c,d)型的加權移位運算元的Berger測度的問題，並將其用於多元次正規運算元組的反向擴張定理的計算中;使用運算元論的觀點研究了著名的Lehmer猜測問題，提出了兩種新的運算元Mahler測度,並比較了與數量值Mahler測度的關係。基於我們的結果，共完成論文11篇，其中9篇已發表，2篇已接受，完成了預期目標。
