《基於Julia集的復動力系統分形刻畫及其繪製算法研究》是依託大連理工大學,由孫媛媛擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：基於Julia集的復動力系統分形刻畫及其繪製算法研究
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：孫媛媛
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
復動力系統是動力系統研究的重要領域，Julia集作為其主要描述對象一直是該領域研究的熱點。本項目通過代數理論分析方法和計算機繪製算法，以Julia集為主要研究內容，對Julia集及其參數集Mandelbrot集的分形特性進行深入的分析。具體研究內容包括：通過研究具有時間遲滯特性的Julia集以及噪聲擾動Julia集等模型考查復動力系統的動力學行為；研究穩定周期域中心點位置、周期軌道的分布特點以及周期軌道收斂的細節特性；研究分形集芽孢分布規律、穩定周期域計算、周期點與準周期點位置等問題；總結Julia集的拓撲變化及其拓撲演變規律，進而得到對復動力系統的全面分形刻畫和動力學演變規律。最終，本項目將建立一套完整的從理論分析到計算機實驗仿真的復動力系統研究方法。
結題摘要
復動力系統是動力系統研究的重要領域，Julia集作為其主要描述對象一直是該領域研究的熱點。課題組對McMullen函式族映射Julia集的性質進行了分析。重點研究了連通狀態下的McMullen映射的填充Julia集。使用不同顏色區分Julia集的不同區域，精細的刻畫了Julia集的內部結構，計算出Julia集中共形同胚於二次方映射Julia集的最大穩定區域的幾何對稱中心點。且證明了其中心點的分布只由m和d決定，不受c值的影響。對McMullen有理函式族映射Mandelbrot集進行了研究。針對McMullen有理函式族映射Mandelbrot集的N周期穩定區域問題，得出了N（N＞1）周期穩定區域數量的和一周期穩定中心點、穩定區域邊界的計算方法。同時研究了自由臨界點的問題，通過實驗驗證了當m=d時，自由臨界點不影響周期穩定區域分布的結論，且重點分析了當m與d不相等時，自由臨界點對一周期穩定區域分布的影響，並找到其分布規律。考查Julia集具有典型的自相似性和對稱性，從群論的角度分析了Julia集的結構特點。提出填充Julia集的群體是一個對稱群，並對二次方映射填充Julia集內部周期點的群特性進行了研究。研究表明，二次方映射填充Julia集的周期點為N*（N*＞1）階循環群。當N*為素數時，填充Julia集周期點只構成一種循環分布結構。當N*為合數時，填充Julia集的周期數等於存在周期點的花瓣循環體的數量乘以每個花瓣循環體內部的花瓣數量。課題組對存在周期點的花瓣循環體的數量和分布進行了理論分析和實驗驗證，使得對Julia集周期域分布的刻畫更為精準。本項目的研究不僅是對復動力系統的有益探索，也啟發了課題組從動力系統的角度考查和探索目前流行的深度神經網路。課題組後續將以本項目的動力學和群理論研究為基礎，對深度神經網路模型的動力學特徵開展深入研究。
