基於運算元空間的微分流形及非線性偏微分方程的研究

《基於運算元空間的微分流形及非線性偏微分方程的研究》是依託西北大學，由方莉擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：基於運算元空間的微分流形及非線性偏微分方程的研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：方莉
• 依託單位：西北大學

項目摘要

本項目套用微分幾何流形的思想，研究運算元空間中的黎曼流形與格拉斯曼流形問題，通過討論測地線、指數映射、曲率以及撓率的相關性質，得到流形上的測地線理論。另一方面，套用運算元空間理論、希爾伯特空間理論，研究一類非線性偏微分方程，通過建立該類偏微分方程解的存在性，得到其解的適定性理論。預期研究成果不僅為運算元論與運算元代數本身開闢一些新的研究課題，而且拓寬運算元論與運算元代數在偏微分方程等其他學科分支中的套用前景。

結題摘要

現代偏微分方程理論研究依賴於泛函分析。特別地，泛函分析的方法是研究偏微分方程解的存在性、唯一性的一個必不可少的工具。本項目原計畫對運算元空間中的流形以及運算元空間理論在一類非線性偏微分方程解的適定性研究中開展套用，從而為利用運算元空間理論探索非線性偏微分方程解的適定性提供切入點。在獲得國家自然科學基金青年基金資助後，本項目進展順利，研究基本按照原計畫執行，對一些研究內容作了調整。本項目運用譜分析、投影運算元理論、不動點理論，藉助巴拿赫空間中的變分不等式、能量泛函的凸性等相關理論，研究了與流體力學以及氣體動力學相關的非線性偏微分方程組解的適定性，本項目的研究成果進一步豐富了非線性偏微分方程組解的適定性。目前，已在國內外核心學術刊物上正式發表論文6篇，其中被SCI檢索6篇。