基於數論方法的偽隨機二進制數列及相關問題的研究

《基於數論方法的偽隨機二進制數列及相關問題的研究》是依託西北大學，由劉華寧擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：基於數論方法的偽隨機二進制數列及相關問題的研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：劉華寧
• 依託單位：西北大學

項目摘要

隨著信息技術與計算機網路的飛速發展，偽隨機二進制數列得到了廣泛的套用，並已成為密碼學的一個基本工具，在構造密碼系統中起著決定性的作用。本項目擬利用篩法、特徵和與指數和的估計等數論方法來研究偽隨機二進制數列及其相關問題。主要包括：構造適用於安全密碼系統的偽隨機二進制數列、格點、布爾函式與整數環的子集；引入加法數論中的Gowers範數等工具對偽隨機數列的性質進行深入的分析，進而把偽隨機數列的安全性建立在可靠的數學基礎上；研究並測試偽隨機數列的統計性質；建立數列的不可預測性與大整數分解、離散對數等之間的聯繫。通過本項目的實施，以期在偽隨機數列理論研究的某些方面有所突破，從而能推動數論與密碼學相關領域的發展。

結題摘要

隨著信息技術與計算機網路的飛速發展，偽隨機數列得到了廣泛的套用，在構造密碼系統中起著決定性的作用。本項目利用數論方法設計了一系列新的偽隨機數列、格點、子集與布爾函式，並深入研究了其性質。具體來說,我們基於Whiteman，Ding-Helleseth廣義割圓類，構造了一些偽隨機k元序列和二元序列。綜合套用數論中的三角恆等式、指數和、特徵和的估計，研究了序列的一致分布測度、相關性、自相關值、線性複雜度、碰撞與雪崩效應等性質。利用素數模上的乘法逆以及廣義hyper-Kloosterman和的估計，給出了兩類偽隨機二進制格點，並研究了其性質。利用有限域中的多項式和偽隨機子集構造了大族的布爾函式，並研究了其密碼學性質：最大Fourier係數、非線性、平均靈敏度、稀疏性、碰撞與雪崩效應等等。研究了整數環子集上的Gowers範數以及一些偽隨機測度之間的關係，引入了多維偽隨機子集，並研究了相應的偽隨機測度的性質。利用費爾馬商構造了偽隨機子集，並利用多項式特徵和的估計來研究了其性質。研究了數論中著名的廣義Kloosterman和、Hardy和、三項指數和的算術性質與均值性質，得到了一系列的恆等式與漸近公式。此外我們給出了Lehmer問題和Woods問題在短區間的並集中的推廣。通過研究偽隨機數列和子集的設計與分析，數論中更多的領域能得到推動，數論與密碼學能更緊密的結合在一起。