《圖引導的連續時間Cucker-Smale模型的同步行為研究》是依託哈爾濱工業大學，由李祝春擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：圖引導的連續時間Cucker-Smale模型的同步行為研究
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：李祝春
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
動物群體運動（如鳥群、魚群等）是自然界的普遍現象，關於它的形成機理的研究近年來引起了各領域專家的廣泛興趣。2007年，Cucker和Smale提出了一個新模型來探索這一課題，並首次從理論上獲得了基於初始條件的群體同步性結果，引起了學者的高度關注。作為一種典型的多個體系統，其個體之間的連線模式是模型的關鍵。已有的關於Cucker-Smale模型的大部分工作都針對對稱連線結構的情形，對非對稱情形的工作尚不多見。特別是在連續時間情形下，已有工作都是在對稱的或三角的連線結構下取得的。本項目將重點考慮非對稱非三角的圖引導下的連續時間Cucker-Smale模型的同步行為，包括固定拓撲連線和切換拓撲連線的情形。本項目的研究將補充和完善Cucker-Smale模型的理論，增進人們對動物集群從無序到有序運動的形成機理的了解，進一步為其在飛行器編隊和機器人群體控制等領域的套用提供理論基礎。
結題摘要
本項目重點考慮非對稱非三角型的圖引導下的連續時間Cucker-Smale 模型的同步行為(flocking)。 由於鄰接矩陣對稱性和三角型結構的缺失，Cucker-Smale模型的原有方法，比如Lyapunov函式方法和歸納法，都已不再適用。在本項目的研究中，為了克服這一難點，我們考慮在大耦合係數下的Cucker-Smale模型的極限行為，運用Tikhonov奇異擾動理論得到系統的同步行為。使用Tikhonov理論的好處是其子系統之一——fast system是漸近穩定的。本部分成果已經形成論文並被Quarterly of Applied Mathematics(SCI)接收。這一結果一方面完善和充實了Cucker-Smale模型的相關理論，另一方面，由於Cucker-Smale模型在工程問題，如飛行器編隊中具有潛在套用價值，因此也具有一定的實際意義。 在本項目研究中，我們注意到另一類多個體系統——Kuramoto模型。這一模型描述了自然界中廣泛存在的頻率同步現象，是多年來學者們關注的熱點問題之一。某種角度上看，它與Cucker-Smale模型是類似的。但是，區別於其它多個體系統，其耦合項由三角函式給出，因此有其特別之處。多年來，人們集中於在完全圖連線下的系統，其特點是每個振子在群體中扮演完全相同的角色。在本項目中，我們考慮了具有網路結構的Kuramoto模型。我們考慮了分等級的Kuramoto模型的同步行為，以及對稱網路上的Kuramoto模型。對等級制度情形，我們將數學歸納法推廣到Kuramoto模型的研究中；對對稱網路情形，我們使用了Lojasiewicz不等式的相關理論。本部分的研究成果分別寫成論文並已投稿（共2篇）。
