《四次多項式系統S-引理的相關問題及套用》是依託天津大學，由胡勝龍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：四次多項式系統S-引理的相關問題及套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：胡勝龍
- 依託單位：天津大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
一個四次多項式函式對另一個由四次多項式函式組成的系統共正的問題具有很多的等價刻畫，四次多項式系統S-引理（SLQP）就是研究這些等價刻畫的數學問題。這個問題具有廣泛的數學理論背景和眾多的實際套用，其研究具有重要的理論和套用價值。本項目重點探討SLQP的基礎理論及其實際套用，力求建立SLQP的理論基礎。具體地，主要討論SLQP的表達形式（包括等價問題中具有非負常數係數，非負多項式係數、SOS多項式係數等）、成立的充分和必要條件，分析SLQP的代數複雜性（包括非負多項式係數和SOS多項式係數的次數的有界性以及上下界的計算，算法的複雜性等），尋求能夠使不同表達形式下S-引理成立的特殊類四次多項式，研究可驗證SLQP的四次多項式類，並將建立的理論套用於四次多項式最佳化問題以及與其相關的某些實際問題。本項目的順利實施可以很好地豐富最最佳化理論，為非線性代數等的發展提供理論支持。
結題摘要
本項目以四次多項式系統的擇一定理為研究基本出發點，系統地研究了特殊多項式系統的擇一定理及其SOS表達形式。在研究中發現，要進一步建立四次多項式系統的擇一定理，需要完善很多的相關理論。特別地，表達多項式的張量的基本理論和性質的研究在這些理論中顯得特別關鍵。因此，本項目還研究了張量的最基本理論，包括非負張量的Perron-Frobenius定理，張量特徵值的重數與反問題，張量核範數，以及特殊Laplace張量的性質。為了後續研究的開展，本項目也研究了相關的張量最佳化問題及套用。總的說來，本項目是張量最佳化研究的一個良好開端。
