單粒子與多粒子體系的相對論量子力學方程，將波粒二象性觀念套用到相對論粒子體系所建立的描述粒子運動的方程。
基本介紹
- 中文名：單粒子與多粒子體系的相對論量子力學方程
- 所屬學科：物理學
E.薛丁格曾利用這一觀念，並和波動光學進行類比，得出著名的薛丁格方程：，(1)其中t、r是時空坐標，ħ是普朗克常數除以2π，H是哈密頓算符。薛丁格方程也可以通過正則對易關係所提供的規則來得出。例如非相對論粒子總能量是， (2)其中是粒子的動能，U(r，t)是粒子的位能。正則對易關係提供的規則就是進行如下的替換，(3)並作用在波函式ψ(r，t)上。於是自式(2)得出如式(1)的薛丁格方程。還可以將上述規則推廣到相對論粒子體系。取相對論的自由粒子能量為 (4)就得到粒子的相對論波動方程如下：。 (5)這個方程1926年由O.克萊因和W.戈登首先發表，一般稱為克萊因-戈登方程（見場方程）。其實，早在薛丁格研究非相對論量子力學時，就已經得到這個方程，但他沒有發表。此後，B.A.福克等人也在同一年得到了同一方程。但這一方程發表後不久，便引起爭論，因為由這一方程將得到負值的幾率密度。一直到量子場論發展起來以後，才澄清了這一問題，並確認它是描述零自旋粒子場的相對論量子力學方程。相對論量子力學歷史上的一個重要進展，是找到了自旋的相對論波動方程，即1928年P.A.M.狄喇克為克服克萊因－戈登方程的負幾率困難而引入的狄喇克方程。狄喇克的基本思想是:如果希望克服負幾率困難，那么在幾率密度的表示式中就必須避免引入對時間的偏導數，也就是相對論方程中的時間偏導不能高於一次。由於相對論的協變性，對空間的偏導也將限於一次。如果再要求波函式滿足線性疊加原理，那么唯一的可能性就是時空對稱的一次線性偏微分方程。此外，由於粒子還應該滿足能量動量關係式(4)，因而粒子的波函式也將滿足克萊因-戈登方程(5)。正是在上述觀念指引下，狄喇克導出了一個波函式有四個分量的相對論量子力學方程：，(6)其中α、β是4×4的矩陣，一種可能的表示是其中σ和I是2×2的泡利矩陣和單位矩陣。狄喇克方程的一個重要成就是它能自動導出電子磁矩等於一個玻爾磁子。反之，如果採用同整數角動量相類比的辦法，則電子磁矩只能等於半個玻爾磁子。這就解決了一個長期困擾的問題。狄喇克方程的另一成就是它能極好地解釋氫原子能譜。此外，在解釋多電子原子能譜方面也獲得遠比薛丁格方程更完善的結果。當然，狄喇克方程最重要的成就是它預言了反粒子以及為解釋反粒子而引進了負能級海的概念，這導致了量子場論的建立。曾經有一個時期認為狄喇克方程是惟一正確的相對論量子力學方程。隨著量子場論的進展，終於發現其他相對論量子力學方程也都是有物理意義的。這就進一步促使人們去探索帶有其他種自旋的粒子所滿足的方程。質量為零、自旋為ħ的相對論量子力學方程是人們熟知的麥克斯韋方程組，只不過對麥克斯韋方程做出粒子解釋要費事一點。特別是在坐標表象中光子波函式沒有幾率密度的概念。在麥克斯韋方程中要引進質量也沒有原則性困難。高自旋粒子的相對論方程曾為V.巴格曼和E.P.維格納所普遍地研究過。當自旋為時，就得到喇里塔-施溫格方程。特別值得一提的是，對於自旋為ħ的粒子，相對論量子力學的一個重要進展是楊振寧和R.L.密耳斯於1954年提出了非阿貝耳群的規範場方程。隨著粒子物理學的進展，這類規範場方程已成為當前粒子理論研究的一個重要方向，正被廣泛地套用到電磁相互作用、弱相互作用以及強相互作用等領域。以上所涉及的相對論量子力學方程僅限於描述一個粒子。兩個以上的粒子或多粒子體系的相對論方程就要複雜得多。原因是：①兩個以上粒子體系將能組合成任意高自旋體系，因而多粒子的量子力學方程必須實際上包含高自旋的巴格曼-維格納方程；②多粒子量子力學方程不僅要考慮到粒子間相互作用，而且要考慮到粒子對真空所引起的極化效應，從而間接地影響到另一些粒子的行為。按照量子場論的觀點，粒子是場的激發量子，粒子間的相互作用實質上是受量子條件的約束的場同場的相互作用，這就又必須考慮到真空中背景場所引起的間接作用。1951年，H.A.貝特和E.E.薩耳彼特利用R.P.費因曼的量子場論分析方法，克服了上述困難，提出了貝特-薩耳彼特方程，用以描述雙粒子的相對論量子力學體系。幾乎與此同時，M.蓋耳－曼、F.E.駱以及J.S.施溫格也分別用不同的方法得到了相同的方程。以自旋是的正反粒子體系為例，貝特-薩耳彼特方程的基本思想是：引進如下協變形式的波函式(j=1，2，3，…)，(7)其中xi是各相應粒子的時空坐標，bj代表相應的束縛態，ψ(x1)、(x2)是自旋的場運算元，而ⅹj(x1，x2)是4×4的矩陣函式，其相應的方程式可寫為， (8)其中γ=-iβα，γ4＝β，積分I代表各種不可約的費因曼圖的總和。由式⑻可看出:①這是由狄喇克運算元的乘積(這裡一個左乘，一個右乘，而通常多粒子薛丁格方程的各個粒子的運算元是相加的)形成的微分積分方程；②粒子間的間隔x=x1-x2，既包括類空的情況又包括類時的情況。貝特－薩耳彼特方程的這兩個特性使得它非常難於求解。通常求解的方法是將它取非相對論近似，還原為薛丁格方程，再用微擾理論處理。當然這就不能深入討論相對論效應了。但是，貝特-薩耳彼特方程畢竟在理論上取得了巨大成功：①它是和量子場論相自洽並且是理論上嚴格的多粒子的相對論方程；②已證明，這一方程在計算弱耦合束縛態的量子場效應修正方面獲得巨大成功，如氫原子、正電子原子，μ±e抋的原子等等。但由於貝特－薩耳彼特方程多出了一系列在理論上很難去掉的反常解和非物理解，造成了些原則性的困難，所以多粒子體系的相對論量子力學方程仍有待繼續探討。自1956年起，就有許多人繼續尋找新的相對論方程，中國物理學工作者在這方面也作了有益的工作。
