基本介紹
- 中文名：和角公式
- 別稱：三角函式的加法定理
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：三角函式以及物理運動學分析
- 口訣：正余同餘正，余余反正正
誘導公式,三角函式和角公式,證明,適用範圍,高等內容,
誘導公式
常用的誘導公式有以下幾組:
1.sinα^2+cosα^2=1
2.sinα/cosα=tanα
3.tanα=1/cotα
公式一:
設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函式的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
設α為任意角,π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α與-α的三角函式值之間的關係:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
1.sinα^2+cosα^2=1
2.sinα/cosα=tanα
3.tanα=1/cotα
公式一:
設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函式的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
公式二:
設α為任意角,π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α與-α的三角函式值之間的關係:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六:
π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
三角函式和角公式
一般的最常用公式有以下幾組：
正弦餘弦記憶口訣：正余同餘正，余余反正正。
五個字代表右邊的公式，“同”和“反”則表明中間的符號與左邊是否一樣；其中第一個字也代表是餘弦公式還是正弦公式。
證明
法一：向量證明
在平面直角坐標系中，以x軸為始邊，作角α，角β，分別記其終邊單位向量為a, b，則使用坐標法表示這兩個向量為a=(sin α, cos α), b=(sin β, cos β)
∵a·b=|a||b|cos<a,b>
且a·b=sin α·sin β+cos α·cos β
且|a|=|b|=1
∴cos<a,b>=cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
用-β代替β，得cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
由誘導公式6，得sin(α-β)=-cos[(α-β)+π/2]=-cos[(α+π/2)-β]
=-[cos(α+π/2)·cosβ+sin(α+π/2)·sinβ]
=-[-sinα·cosβ+cosα·sinβ]
=sinα·cosβ-cosα·sinβ
同理得 sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β) = (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ)
同除cosα·cosβ,得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
證畢
法二：幾何證明
下圖α，β標識有誤，建議放大觀看。其中∠AOB應為α，∠AOP應為β。
cos(α-β)=OM
=OB+CP
=|OA|cosα+|AP|sinα
=cosα·cosβ+sinα·sinβ
適用範圍
和角公式是三角函式的一個基本公式，其實際套用有以下幾個方面：
1、其它三角公式的推導依據。
2、三角函式值的計算。
連同勾股定理，可以計算出各角度對應的函式值，是編制三角函式表的基本工具。
高等內容
部分高等內容
高等代數中三角函式的指數表示
高等代數中三角函式的指數表示(由泰勒級數易得):
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展開有無窮級數,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…
此時三角函式定義域已推廣至整個複數集。
三角函式作為微分方程的解
三角函式作為微分方程的解:
對於微分方程組y=-y'';y=y'''',有通解Q,可證明
Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發定義三角函式。
補充:由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函式——雙曲函式,其擁有很多與三角函式的類似的性質,二者相映成趣。
高等代數中三角函式的指數表示
高等代數中三角函式的指數表示(由泰勒級數易得):
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展開有無窮級數,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+…
此時三角函式定義域已推廣至整個複數集。
三角函式作為微分方程的解
三角函式作為微分方程的解:
對於微分方程組y=-y'';y=y'''',有通解Q,可證明
Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發定義三角函式。
補充:由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函式——雙曲函式,其擁有很多與三角函式的類似的性質,二者相映成趣。
