可積系統尖峰孤立子解的軌道穩定性

《可積系統尖峰孤立子解的軌道穩定性》是依託西北大學，由劉小川擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：可積系統尖峰孤立子解的軌道穩定性
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：劉小川
• 依託單位：西北大學

項目摘要

自從1993年，Camassa 和 Holm 從單向傳播的非線性淺水波模型中推導出著名的 Camassa-Holm 可積方程以來，這類具有尖峰孤立子解的非線性可積系統引起了人們越來越多的關注。尖峰孤立子是具有非線性彈性碰撞的孤立波，但是和經典的光滑孤立子相比，尖峰孤立子在波峰處具有連續但不光滑的尖點。到目前為止，除了經典的 Camassa-Holm 方程和 Degasperis-Procesi 方程以外，最近人們也發現了一些具有高階非線性項的可積系統，例如修正的 Camassa-Holm 方程和 Novikov 方程等，也具有尖峰孤立子解、周期的尖峰孤立子解和多重尖峰孤立子解。本項目主要研究可積系統尖峰孤立子解的軌道穩定性，以期一方面給出描述這一物理現象的嚴格數學證明；另一方面理解可積系統的某些特殊的可積結構（例如雙哈密頓結構和無窮多守恆律等）在刻畫尖峰孤立子解的軌道穩定性中所起到的作用。

結題摘要

本項目的研究領域屬於數學物理，研究方向是可積系統及其套用，主要研究內容包括多分量可積系統非光滑孤立波的穩定性、可積方程族之間的 Liouville 相關性以及多分量對偶可積系統的構造及其孤立波解的分類。已取得的主要結果和科學意義有以下三個方面。一是，研究了兩分量 Camassa-Holm 可積方程組 (2CH) 的非光滑孤立波的穩定性問題，證明了在能量空間中，Camassa-Holm 尖峰孤立子和周期的尖峰孤立子所相應的波形在 2CH 流作用下是軌道穩定的。該結果為多分量可積系統非光滑孤立波的穩定性的研究提供了有益的思路。二是，系統地研究了幾類具有典型非線性特徵和非局部效應的可積方程族的 Liouville 相關性問題，分別證明了修正的 KdV 和修正的Camassa-Holm 可積方程族、Novikov 可積方程族和 Swada-Kotera 可積方程族、Degasperis-Procesi 可積方程族和 Kaup-Kuperschmidt 可積方程族、Short-Pulse 可積方程族和 Sine-Gordon 可積方程族之間的 Liouville 相關性，發現了 Camassa-Holm 方程和修正的 Camassa-Holm 方程、Degasperis-Procesi 方程和 Novikov 方程之間的非平凡內在聯繫。這些系列結果得到了審稿人的高度評價，是在可積方程族 Liouville 相關性研究方面的重要工作。三是，提出了將 Backlund 變換方法和 tri-Hamiltonian 對偶方法相結合的思路，研究了具有典型物理背景的兩分量和三分量可積的色散水波系統和修正的色散水波系統的對偶可積結構，得到了多個新的對偶可積系統，針對兩分量對偶的色散水波系統，分類了相應的孤立波解，發現了多類新的具有間斷點的 Cuspon 型非光滑孤立波。我們的工作發現多個新的具有非線性色散結構的多分量可積系統，並發現了若干新的非光滑孤立波解的結構。