厄爾姆定理是可數既約準素阿貝爾群的結構定理.。
基本介紹
- 中文名：厄爾姆定理
- 外文名：Ulm's Theorem
厄爾姆定理(Ulm's Theorem)可數既約準素阿貝爾群的結構定理.設G為既約準素阿貝爾群.準素阿貝爾群G中兩個無限高度元素的和與差在G中也有無限高度，從而，所有具有無限高度的元素的集合(加上零元)是群G的一個子群，記為G,一般地，若對小於某一序數月的所有序數a，在群G中已經定義了子群Ga，則當月為非極限序數時，就讓在Gp:中具有無限高度的元素(加上零元)所組成的子群為Gp;若月是極限序數，則讓
厄爾姆定理
這樣，就可以得到G的一個降序列G=Go>G,>...>Ga> "…由於G的基數不會被超過，所以存在這樣一個序數Y，使得Gr = Gr+,，因此，對所有大於Y的序數}}Gr=Ga.但是等式Gr =Gr+，表明，子群Gr中所有的元素在G，中有無限高度，即子群G，是一個可除群.根據所做假定，群G是既約的，所以子群Gr=0.若:是使Gr =。的最小序數，則稱:為既約準素阿貝爾群的型.若G是一個:型既約準素阿貝爾群，則對所有小於:的序數a，做商群Ga = GalGa+1，群列GO1G,}"..}硯，…，。<:稱為群G的厄爾姆因子列.利用這些概念，可以得到重要的厄爾姆定理:可數既約準素阿貝爾群A和B彼此同構，若且唯若它們有同一型:，且對任何小於:的序數a，它們的厄爾姆因子A。和B。彼此同構.有例子表明厄爾姆定理不能簡單地推廣到不可數的情形，即厄爾姆定理中群的可數性條件是不可少的.
