勞思-赫爾維茨穩定判據

勞斯–赫爾維茨穩定性判據（Routh–Hurwitz stability criterion）是控制理論中的一個數學判據，是線性時不變系統（LTI）穩定的充分必要條件。

此穩定性判據之所以重要，是因為若線性系統之特徵方程式的根p均有負的實部，表示其解ept為穩定的（BIBO穩定）。因此穩定性判據提供了方式，可以在不求解線性系統的運動方程的情形下，判斷其是否只有穩定解。對於離散系統，對應穩定性的測試可以由Schur–Cohn判據、Jury穩定性判據及Bistritz穩定性判據來判斷。隨著電腦的進步，此穩定性判據變的較少使用，另一種判斷的方式則是用數值方法直接求解多項式，得到其解的近似值。

基本介紹

• 中文名：勞思-赫爾維茨穩定判據
• 外文名：Routh–Hurwitz stability criterion
• 學科：基礎科學

詳解

勞斯–赫爾維茨穩定性判據（英語：Routh–Hurwitz stability criterion）是控制理論中的一個數學判據，是線性時不變系統（LTI）穩定的充分必要條件。勞斯測試是由英國數學家愛德華·勞斯在1876年提出的快速算法，可以判斷一線性系統其特徵多項式的根是否都有負的實部。德國數學家阿道夫·赫維茲在1895年獨立的提出將多項式的係數放到一個方陣中（此方陣稱為赫維茲矩陣），證明多項式穩定若且唯若赫維茲矩陣的主要子矩陣其行列式形成的數列均為正值。二個程式是等價的，而勞斯測試提供一個有效計算赫維茲行列式的方法。滿足勞斯–赫爾維茨穩定性判據的多項式稱為赫爾維茨多項式。

此穩定性判據之所以重要，是因為若線性系統之特徵方程式的根p均有負的實部，表示其解e為穩定的（BIBO穩定）。因此穩定性判據提供了方式，可以在不求解線性系統的運動方程的情形下，判斷其是否只有穩定解。對於離散系統，對應穩定性的測試可以由Schur–Cohn判據、Jury穩定性判據及Bistritz穩定性判據來判斷。隨著電腦的進步，此穩定性判據變的較少使用，另一種判斷的方式則是用數值方法直接求解多項式，得到其解的近似值。

勞斯測試可以由輾轉相除法以及在計算柯西指標時用施圖姆定理來推導。赫爾維茨利用另一種方式來推導其穩定性判據。

利用輾轉相除法求解

勞斯–赫爾維茨穩定性判據和勞斯–赫爾維茨定理有關。由定理的陳述，可得其中：

p為多項式ƒ(z)的根中實部為負值的個數。

q為多項式ƒ(z)的根中實部為正值的個數。（此假設ƒ(z)的根都不在虛軸上）

w(x)為由 及由施圖姆定理得到的變號數（中間利用連續的輾轉相除法。

其中，y為實數。

根據代數基本定理，每個n次的多項式在複數平面上會有n個根（也就是，對於根都不在虛軸上的ƒ，p+q=n）。因此可得到ƒ為（穩定的）赫爾維茨多項式若且唯若p−q=n。利用勞斯–赫爾維茨定理，可以將p和q的條件改為以廣義施圖姆鏈組成的條件，也就是以ƒ的係數組合而成的條件。

高階多項式的勞斯–赫爾維茨判據

在下面，假設最高階的係數（例如二階多項式中的 ）為正。如果有必要，總可以將該多項式乘以 得到。

對於二階多項式，如果所有係數都滿足，則所有根都在左半平面（特徵方程為 的系統穩定）.

對於三階多項式 ，所有係數都滿足 ，並且

對於四階多項式 ，所有係數都滿足 ，並且 且

一般地，勞斯穩定性判據要求勞斯表的第一列所有元素符號相同。

滿足上述判據的系統稱為閉環穩定系統，否則會由於第一列元素符號改變而不穩定。