《分形集上Diophantine逼近的若干問題研究》是依託華中科技大學，由王保偉擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：分形集上Diophantine逼近的若干問題研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：王保偉
- 依託單位：華中科技大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
對具有特殊結構點集的丟番圖逼近研究一直是數論研究的焦點，而分形集由於其生成方式的簡潔性及系統本身一定的複雜性使之成為研究具有特殊結構點集的一類重要對象。.本項目研究分形集上丟番圖逼近的度量性質和分形結構：(1)、研究具體分形集上滿足一定丟番圖逼近性質點集的分形維數及量綱函式，其中研究的分形集包括有限和無窮生成的自相似集、連分數變換、Lüroth變換等具有無窮多個疊代分支的動力系統生成的吸引子、支撐著Friendly測度的分形集；(2)、研究關於支撐在分形集上的測度的Khintchine-Groshev 0-1律；(3)、研究非緊空間上關於一般Borel測度的質量轉移原理。.建立起確定分形集上關於上限集的度量性質及分形維數的理論，發展維數理論中Moran型集合的構造和質量分布原理的套用等方法和技巧。同時學科之間的交叉也將為雙方學科的研究提供新的研究工具、方法和技巧。
結題摘要
丟番圖逼近是數論研究的重要內容，而連分數等系統在刻畫數的丟番圖性質等方面起著本質的決定作用。因而本項目以數的丟番圖逼近為問題的出發點，以連分數等數的表示理論為工具，來刻畫具有特定丟番圖屬性的集合的分形尺度。同時在由有限個疊代函式生成的系統中，beta展式不具有Markov性，這成為研究beta展式中度量理論的主要阻礙，於是在本項目中，我們也著重的研究了由beta展式誘導的滿足一定丟番圖性質的集合的度量理論。本項目的研究成果主要集中在如下三個方面： (I) 在連分數系統中，研究了部分商的和以任意速度趨於無窮的集合的分形維數，其實質問題是兩個分形集的交集；研究了形式級數域上，限制在特定分形集上，部分商滿足一定增長速度的集合的分形維數，回答了Hirst在上世紀70年代的一個開問題在形式級數域下的情形；研究了在連分數變換下點的軌道無窮多次的落入給定柱集的集合的分形維數，全面解決了Fernandez, Melian, Pastana等未解決的問題；研究了用給定連分數的收斂因子來逼近其他點的問題，說明了部分商越大，滿足Littlewood猜想的點對就越多。 (II) 在beta展式中，完全刻畫了基本柱集的長度；研究了在beta變換下點的軌道無窮多次返回自身、無窮多次擊中某給定點的鄰域等問題，發現了所謂的動力系統中的維數轉移原理，並證明了beta展式中壓力泛函的某種連續性；考慮了beta展式中關於遍歷平均的重分形分析，發現在對beta展式的重分形研究中，都可以將相應的問題轉移到其子系統相應問題的研究中。 (III) 維數轉移原理：質量轉移原理是確定丟番圖逼近中上極限集的分形維數的有力工具，在對beta展式的研究中我們發現了類似的所謂的維數轉移原理，於是探討了連分數系統、無窮疊代函式系等系統中的維數轉移原理，從而為確定一類系統中上極限集的維數理論提供了有力的工具。 除上述三個方面以外，我們還研究了其他由無窮疊代函式系生成的如Luroth系統，以及由無理旋轉生成的Sturmian序列等相關問題。
